非线性电容RLC串联电路的主共振研究

李高峰

（唐山学院唐山市结构与振动工程重点实验室，河北唐山 063000）

非线性电容RLC串联电路的主共振研究

李高峰

（唐山学院唐山市结构与振动工程重点实验室，河北唐山 063000）

研究非线性电容RLC串联电路，应用多尺度法，得到非线性振动系统主共振的一次近似解并进行数值计算，分析电阻、电感、电容和电动势对主共振幅频响应的影响.结果表明：RLC串联电路的主共振响应有跳跃和滞后现象；随着电动势的增加，主共振的振幅和共振区增大；随着电阻的增大，主共振的振幅和共振区减小.

RLC电路；非线性电容；多尺度法；主共振；非线性振动

0 引言

非线性电抗，如变容二极管，在许多领域的电气工程使用范围广泛.在设计参数放大器、上频器、混音器、低功率微波振荡器、电子调谐装置等电路时，非线性电容可作为其中的一部分.含有非线性元件的电路是非线性电路.元件性质（R的伏安特性、L的韦安特性、C的库伏特性）不再是线性关系，即参数不再是常量的元件成为非线性元件.非线性元件电路是指由非线性元件构成的电路，如线圈、电容等够成的LR，CR，LC，LCR电路等，这些可构成微分电路或积分电路，这就是非线性电路.非线性电路有电气设备中的变压器线圈、电子管振荡器、电子控制技术中的整流、解调、铁磁谐振电路等.电工中常利用某些元器件的非线性.例如避雷器的非线性特性表现在高电压下电阻值变小，这种性质被用来保护雷电环境下的电工设备；铁心线圈的非线性由磁场的磁饱和引起，这种性质被用来制造电流互感器.音频信号发生器的自激振荡电路中因有放大器这一非线性元件而成为非线性电路.

国内外学者对RLC（resistance inductance capacitance）电路的非线性特性进行了研究.詹士昌［1］用普通钨丝灯泡、变压器线圈和电容组成的非线性RLC串联铁磁谐振电路，可以演示非线性系统常见的单稳态、双稳态、状态的自动跳变（闪灭）等现象.这类现象的发生是由于两种非线性元件（铁芯线圈、灯丝）与线性电容器联合作用的结果.王小艳［2］用数值方法对非线性RLC串并联电路的暂态过程进行了研究，得到了非线性RLC电路的一些普遍特征.杨志安等［3－6］研究了电阻和电感非线性RLC电路耦合系统和RLC串联电路与微梁耦合系统的非线性振动，应用拉格朗日－麦克斯韦方程建立系统的数学模型，根据非线性振动的多尺度法，得到系统满足共振条件的一次近似解以及对应的定常解.崔一辉等［7］应用拉格朗日－麦克斯韦方程建立起一个受到简谐激励的RLC电路弹簧耦合系统的数学模型，分别用龙格库塔法和级数法计算了在无外激励的情况下，有阻尼和无阻尼时系统分别对应的时间响应.邹海勇［8］利用MATLAB设计了基于Simulink的RLC电路分析与仿真方法，展示了动态仿真结果.常秀芳等［9］从分析实际问题入手，依据闭合电路定律，从中建立RLC振荡电路的数学模型.Blankenstein［10］利用混合势函数描述考虑不受约束的控制电压或电流源非线性RLC电路动力学问题.Chakravarthy［11］研究电路是否产生共振与系统的参数有关.Oksasoglu等［12］研究在弱非线性激励下，适当的系统参数能使系统产生混沌现象.Homsup等［13］利用Newton-Raphson分析，在无约束条件下，Brayton-Morses's混合电动势存在非线性方程解法.

国内的学者在非线性RLC串联铁磁谐振电路、电阻和电感非线性RLC电路、RLC串联电路与微梁耦合系统、Matlab软件仿真RLC电路等方面有研究.国外的学者在RLC电路的稳态模拟、电源非线性、混沌现象等方面有研究.根据文献分析国内外关于RLC串联电路的研究均未涉及非线性电容的动力学特性.根据电荷与电压的函数关系，有电压控制型（电荷是电压的单值函数，简称压控制）、电荷控制型（电压是电荷的单值函数，简称荷控制）.本文的非线性电容是电荷控制型，以非线性电容RLC串联电路振动方程为基础，应用多尺度法研究电路的主共振［14］问题.

1 RLC串联电路的振动方程

图1给出RLC串联电路，电阻R、电感L、电容C和电源Em串接，具有阻尼力和电场力作用．电路中的电容是非线性电容，库伏特性为：u＝q／C0＋k2q2＋k3q3＋k4q4＋…．其中，C0为线性电容，k2、k3为非线性电容的电荷系数.由此可知，RLC串联电路是非线性系统.

拉格朗日方法是用广义坐标，从能量的观点研究系统的动力学问题.图1电路取电荷q为广义坐标，则电流i＝，系统的磁能为Wm＝／2．库伏特性仅取3次方，由此可得电容器的电能We＝C0u2／2，系统的拉格朗日函数La＝Wm－We．

耗散函数为Fe＝／2，非保守的广义力为E＝Emcos（ωt）．

进一步得

对式（1）进行处理，可得著名的Duffing方程为

2 主共振理论分析［15］

2.1 主共振的平均方程

所谓主共振是指外激振频率ω接近派生系统固有频率ω0的共振，如果系统是线性小阻尼系统，很小的激振幅值就发出强烈的共振．这时的阻尼力、外激励、非线性力与惯性力和线性力相比是小量，所以在它们前面冠以小参数ε，同时引入主共振调谐参数σ由ω＝ω0＋εσ，σ＝0（1）确定．由式（2）得

首先引入时间尺度T0＝t，T1＝εt，ε是小参数，则有微分算子

其中Dn＝∂／∂Tn，n＝0，1，…．

设主共振的一次近似解为

将式（4）代入式（3）并利用导算子，比较ε的同次幂的系数，得到一组线性偏微分方程

问她为什么这么拼命，她说：“保障百姓的用药安全，是中药中心每一个工作人员的职责所在，要用行动诠释全心全意为人民服务的宗旨。”

方程（5）的解为

式中cc为共轭项，j是单位复数.且

将式（8）代入式（6）得

由此得到消除永年项的条件为

将式（8）代入式（10），分离实虚部，令（σT1－β）＝φ，可得

令D1a＝0，aD1φ＝0，两式平方相加得到系统主共振的幅频响应方程和相频响应方程

相应的一次近似解为

将原参数代入系统的幅频响应方程可得关于ω的实系数二次代数方程，对于0＜a≤f／（2ω0μ），可解出一对实根

主共振的峰值大小总是

与非线性因素无关，但出现峰值的激励频率则与非线性因素有关

2.2 定常解的稳定性

主共振定常解的稳定性是自治系统在定常解在（a，φ）（即奇点）处的稳定性.因此采用Routh-Hurwitz判据来分析主共振的稳定性.

将方程（11）在（a，φ）处线性化，形成关于扰动量Δa，Δφ的自治微分方程，消去φ，得到

其特征方程为

由于μ＞0，由条件Routh-Hurwitz判据可得定常解稳定的条件为

3 主共振数值分析

利用式（12）可以计算系统主共振的幅频响应曲线，根据式（19）Routh-Hurwitz判据判定幅频响应稳定性，并将稳定和不稳定幅值分别用实线和虚线表示.在下面的数值计算中取以下参数：R＝0.05 Ω，Em＝0.000 1 V，L＝0.016 H，C0＝0.000 1 F.

图2（a）为三种不同电动势Em影响下的系统幅频响应曲线，由图2（a）可知随着电动势Em的增加，系统的非线性跳跃越明显，且系统的共振区间及共振幅值均增大，由于式amax＝f／（2ω0μ）和f＝Em／L可知最大幅值与电动势是成正比的关系.图2（b）三种不同电阻R影响下的系统幅频响应曲线，由图2（b）知随着电阻R的增加，系统的非线性跳跃减弱，系统的共振幅值减小.图2（c）三种不同电感L影响下的系统幅频响应曲线，由图2（c）可知随着电感L增加，系统的共振区间向左偏移，并明显的减小.图2（d）三种不同电容C0影响下的系统幅频响应曲线，由图2（d）可知随着电容C0增加，系统的共振区间向左偏移.由此可知，作为供能的电动势和耗能的电阻对系统的振动幅值及共振区间影响比较大；而电容、电感作为储能原件，其数值的变化对系统共振区间移动有影响，但对系统的振动幅值影响不大.由图2可知幅频响应曲线具有的跳跃现象和滞后现象，是典型的非线性曲线.图3为在不同调谐值σ作用下，系统随电动势Em改变的振动响应曲线.在系统电动势Em小于4×10－4V时，调谐参数越大，系统振幅波动越强，当电动势超过4×10－4V之后，系统振动幅值趋于稳定增加.图4为不同调谐值σ作用下，系统随电感L改变的振动响应曲线.当调谐值增加，系统的振动幅值滞后越明显，当电感值超过0.28 H时，对系统的振动幅值影响减小，并趋于稳定.图5为不同调谐值σ作用下，系统随电荷系数k3改变的振动响应曲线.随着调谐值的增大，在电荷系数影响下系统的振幅滞后现象越推迟，但随着电荷系数的增加系统振动幅值也逐渐减弱.图6为不同调谐值σ作用下，随系统电容C的改变下振动响应曲线.调谐值越大在电容值小于2.5×10－4F时，跳跃性越强，当电容值超过2.5×10－4F系统振动幅值趋于稳定，且调谐参数越大系统振动幅值越低.图7为在不同调谐值σ作用下，系统随电阻R改变的振动响应曲线，当R＜0.1 Ω，调谐值越大系统的振动幅值存在条约和滞后现象越明显；当R＞0.1 Ω，当电阻增大时系统的振动幅值减弱.

由图3至图7分析可知，振幅与各个参数之间的响应曲线，在满足一定的条件即σ大于某值时，也具有跳跃现象和滞后现象，这在非线性系统是很少见的.这说明RLC串联电路具有很完备的非线性，电阻R、电感L、电容C和电源的电动势Em都可以是非线性的.如杨志安、崔一辉就对电感非线性RLC电路弹簧耦合系统、电阻电感非线性RLC电路弹簧耦合系统进行研究的成果得到很好的验证.

4 结论

建立了RLC串联电路振动方程，利用多尺度法进行定量分析得到系统定常解，分析电动势、电阻、电感、电容等参数的变化影响，得到幅频响应曲线.RLC串联电路系统主共振响应曲线具有跳跃和滞后现象.电阻对主共振振幅有抑制作用.系统振幅和共振区间随着电动势的增加均明显增大.电感、电容作为储能原件，其数值的变化可改变主共振系统的共振区间位置.振幅与各个参数之间的响应曲线，在满足一定的条件时，也具有跳跃现象和滞后现象，说明RLC串联电路中电阻R、电感L、电容C和电源Em都是可以是非线性的，这在已经取得的研究成果中得到很好的验证.

［1］詹士昌，梁方束.RLC电路非线性现象产生机制的研究［J］.杭州师范学院学报：自然科学版，2002，1（1）：31－33，38.

［2］王小艳.非线性RLC电路特性的数字仿真研究［J］.高压电器，2001，37（6）：52－54.

［3］杨志安，崔一辉.非线性电阻电感型RLC串联电路主共振分析［J］.天津大学学报，2007，40（5）：579－583.

［4］杨志安，崔一辉.电感非线性RLC电路弹簧耦合系统3次超谐共振研究［J］.电子器件，2008，31（3）：988－991.

［5］杨志安，贾尚帅.RLC串联电路与微梁耦合系统1：2内共振分析［J］.应用力学学报，2010，27（1）：80－85，225.

［6］杨志安，贾尚帅.RLC串联电路与微梁耦合系统的吸合电压与电振荡［J］.应用力学学报，2010，27（4）：721－726，850.

［7］崔一辉，杨志安.RLC电路弹簧耦合系统的级数解［J］.振动与冲击，2006，25（4）：76－77，108，177.

［8］邹海勇.基于Simulink的RLC电路分析与仿真［J］.赤峰学院学报：自然科学版，2009，25（12）：29－30.

［9］常秀芳，李高.RLC-振荡电路中的数学模型［J］.大同大学学报：自然科学版，2009，25（1）：71－73.

［10］Blankenstein G.Geometric modeling of nonlinear RLC circuits［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems，2005，52（2）：396－404.

［11］Chakravarthy S K.Nonlinear oscillations due to spurious energisation of transformers［J］.EE Proc-Elect Power Appl，1998，145（6）：585－592.

［12］Oksasoglu A，Vavriv D.Interaction of low and high frequency oscillation in a nonlinear RLC circuit［J］.IEEE Transaction on Circuit and Systems-I：Fundamental Theory and Application，1994，41（10）：669－672.

［13］Homsup N，Homsup W.Unconstrained optimization method for finding DC operating points of RLC nonlinear circuits［C］∥Modelling and Simulation（MS′99）.Philadelphia PA：IASTED，1999：606－607.

［14］杨志安，李高峰.皮带驱动机构的主共振与稳定性［J］.机械强度，2008，30（6）：1023－1027.

［15］Nayfeh A H，Mook D T.Nonlinear oscillation［M］.New York：Wiley-Interscience，1979.

Primary Resonance Analysis of RLC Series Circuit with Nonlinear Capacitance

LI Gaofeng
（Tangshan College and Tangshan Key Laboratory of Structure and Vibration Engineering，Tangshan 063000，China）

For RLC series circuit with nonlinear capacitance，first approximate solution of primary resonance of nonlinear vibration system is obtained with method of multiple scales for nonlinear oscillations.Primary resonance responses of RLC series circuit show jump and hysteresis.With increasing of electromotive force primary resonance amplitude and resonant region increase.With increasing of resistance primary resonance amplitude and resonant region decrease.

RLC circuit；nonlinear capacitance；multiple scales；primary resonance；nonlinear resonance

date：2013－05－25；Revised date：2013－09－13

O321

A

1001-246X（2014）03-0351-06

2013－05－25；

2013－09－13

河北省自然基金（A2009000997）和2013唐山市科学技术计划（1313021106）资助项目

李高峰（1977－），女，硕士，讲师，主要从事非线性动力学研究，E-mail：ligaofeng0315＠163.com