中国和澳大利亚高中数学微积分教材比较研究

朱雪芳，叶立军

（1．台州广播电视大学 高职学院，浙江 台州 318000；2．杭州师范大学 理学院，浙江 杭州 310018）

1 问题提出

微积分是中国高中数学课程中的必选内容，也是世界上许多国家高中数学的核心内容．微积分的创立是数学史上的里程碑，它为研究变量与函数关系提供了重要的解决手段，其蕴含了丰富的数学思想方法，对培养中学生的逻辑思维能力起着重要的作用，并且它在经济、物理等许多学科中有着广泛的应用，因此，选取微积分作为比较内容．把中国教材和澳大利亚高中数学教材中的微积分进行比较，分析两种教材不同的特色，比较两种教材中课程内容的难易程度，显得很有必要．借鉴其他国家课程改革的先进经验，对中国的数学课程改革和教科书的建设与整合具有重要的意义．

2 研究对象

从教材角度出发，比较中国和澳大利亚两国高中数学教材中微积分的课程难度．依据两国的课程标准，各选择一套有代表性的数学教材进行比较，澳大利亚选择了澳洲 IBID出版社2007年出版的Mathematics Higher Level(core)第三版[1]，即数学高水平课程的必修部分，以下简称 IBID版教材，中国选择人教（A版）《选修2-2》[2]，以下简称人教版教材．

运用文献法和比较法对两种版本教材中的微积分部分进行定性、定量分析与比较，采用难度系数模型对两种教材中相应内容进行量化分析比较，从而得出两种教材微积分内容的实际难度水平．

3 教材具体内容比较

3.1 两种版本教材微积分内容数量的比较

对人教版和IBID版数学教材中微积分内容所占页码的数量进行统计，画柱状图如图1．

从上图 1可以看出，在讲微积分这部分内容时，IBID版教材的微积分内容占了289页，人教版占了67页，IBID版明显比人教版用了更多的篇幅，它是一套成熟的教材，全面详细地介绍了微积分的内容，是一个非常完整的体系．

图1 微积分内容所占页码柱形图

3.2 两种版本微积分内容的比较

将两种教材中的微积分内容按章节比较，结果如表1．

表1 两种教材微积分内容编排比较

由表1可知，两种教材在内容编排上基本相同，整体上都遵循着由导数到积分的安排顺序，按微积分知识的发生发展呈现内容，符合学生的认知规律．人教版微积分内容的单元名称是“导数及其应用”，这一章分为7个小节；而IBID版教材的微积分内容不是安排在一个章节中，它的章节划分非常细化，共分成了7个章节，讲解的内容更多、更详细．

3.3 两个版本课程难度的比较

3.3.1 课程难度比较模型

在上述模型中，对课程广度、课程深度、课程时间和课程难度进行如下注释：

课程广度：指课程内容涉及的范围和领域的广泛程度．通常用知识点的多少来量化，对知识点的理解和中学数学中知识点的划分，目前尚无统一认识，一般认为知识点是概念、定理及相关技能组成的小的独立的知识系统．

课程深度[3]：指课程内容所需要的思维深度，这是一个难以量化的因素，但可以用课程目标要求的不同程度来量化．中国的课程标准在对知识和技能目标进行阐述时，使用了“了解（认识）、理解、掌握、灵活运用”等目标动词，澳大利亚的课程标准中对知识点也有“知道、理解、应用”等要求．据此，在确定课程深度时，可以根据课程标准的内容目标来确定每个知识点的深度，将每个知识点的深度由低到高分为4个水平：了解、理解、掌握和灵活运用，并分别赋值，具体见表2．例如课程标准中要求“理解导数的几何意义．”则这个知识点的深度水平为“理解”，并赋值为2．

表2 课程深度水平的赋值

课程时间：指完成课程内容所需要的时间，用通常所说的课时的多少进行量化．

课程难度：简单地说就是指课程的难易程度．课程难度是预期的教育结果从简单到复杂，从低级到高级的质和量在时间上相统一的动态进程．影响课程难度的基本要素至少有3个：课程深度、课程广度和课程实施时间，3者关系为假设所研究的课程内容，只要有足够的时间，绝大多数学生都能理解，那么对于同一个课程内容，在相同的课程深度下，课程广度越大，则课程越难；同理，对于同一课程内容，在相同的课程广度下，课程深度越大，则课程越难；而当课程广度和课程深度都确定不变时，课程时间越短，则课程越难．

3.3.2 课程难度比较

根据以上的课程深度、课程广度和课程时间的量化方法，对两种版本教材中微积分的每个知识点进行逐一鉴定、统计，结果如表3所示．

表3 两种教材课程难度各因素量化数据

（1）课程时间．

人教版根据普通高中课程标准实验教科书配套的教学参考书规定课时为24课时，IBID版的课程标准没有明确地规定微积分课程的课时数，因此根据教材内容安排估计教时数为40课时．

（2）课程广度．

从表3可以看到，在课程广度上，人教版和IBID版所含的知识点分别是16个和34个，人教版的微积分知识含量比IBID版的要少很多，少了18个知识点；从具体知识上看，两种版本微积分的内容大部分是相同的，都包含了导数、积分及应用，但在具体内容上，有较大的差别，IBID版比人教版多了极限符号的运用、高阶导数、不定积分和微分方程等内容，与人教版相比，IBID版教材微积分所用的章节数较多，内容涉及面广，而人教版微积分的内容则比较精简，IBID版的编排基本是“宽而广”的模式，而人教版则是“窄而简”的模式．

（3）课程深度．

根据表3的数据，对人教版和IBID版微积分知识点的深度水平百分比计算如图2所示．

图2 两种教材知识点深度水平百分比

由图2可以看出，在人教版和IBID版的微积分内容中，属于“了解”水平的知识分别占25%和32.35%；属于“理解”水平的知识分别占12.5%和14.7%；属于“掌握”水平的知识分别占56.25%和47.06%；属于“灵活应用”水平的知识分别占6.25%和5.88%．两条折线的走势基本一致，深度值为3处于折线的最高点，深度值为4处于折线的最低点，由此说明两个版本对微积分知识的要求“掌握”层次的较多，“灵活应用”层次的较少．

（4）课程难度．

根据表3的数据，利用前面定义的课程难度模型计算公式，取加权系数 5.0=a ，可计算出人教版和IBID版微积分课程的难度值，见图3．

图3 两种教材微积分的课程难度值

从图3可以看出，人教版微积分课程的难度值为0.41，IBID版微积分课程的难度值为 0.453，IBID版课程难度大于人教版，这是由于人教版微积分的内容编排较少，知识点少，课程广度减少，而两种教材的课程深度基本相同，因此人教版课程难度就相应的降低了．

在教材内容的呈现方式上，人教版教材是以生动的问题情境开始，通过实际背景和具体应用的实例，在解决问题的过程中引入新的概念，力求使学生在动手动脑的过程中体会到数学概念引进的必要性和必然性； 而IBID版教材则通过数据分析和直观图形引入概念，有的就直接给出定义，这不如人教版更注重教材编写的形象性、趣味性、探究性，从而可大大激发学生的学习兴趣，降低教材的难度．

4 结论与启示

（1）人教版教材条理清晰，栏目设置丰富多彩．

人教版的教材结构，在排版方面，条理明确，栏目划分标记较多、较清楚，分别设有引言、观察、思考、探究、注释、问题、点播、小结、探究与发现、信息技术应用和实习作业等丰富多彩的栏目；而IBID版则采用“知识点—例题—练习—知识点—例题—练习”这样循环往复的过程，显得有些单调，但在章节布局上，IBID版教材所分章节更细化，讲解内容更多、更详尽．

（2）IBID版教材内容丰富详实，具有较强的系统性和逻辑性．

IBID版教材的微积分内容涵盖了课程标准中所有的知识点，通过文字、图象、表格和图形计算器等形式，把每一个知识点都分析得非常清楚、透彻，提供了详实的授课内容，注重了知识的系统性和逻辑性，并安排了大量的例题和习题，教学时教师可以根据学生的实际情况选择合适的内容，指导他们根据自身情况解决相应的问题；而人教版教材的课程内容相对来说则显得有些窄，在知识体系的编排衔接上有些跳跃，缺少一定的系统性和逻辑性．在概念的引出上，人教版注重从具体的实例引入，强调基本概念和基础知识的理解；IBID版在概念的引入上则比较直接，对概念的强调不如人教版重视．

（3）两种版本教材习题的选择各有侧重．

人教版教材习题设置条理明确，设有练习、习题、复习思考题，各司其职，分别是对本小节内容、本节内容、本章内容进行练习，每一节课后设有习题，分A、B两组，A组是基础题，是本节内容的复习与巩固，B组是提高题，程度稍难，在本章最后，设有复习参考题，相对综合，是整章知识的复习与综合，这种设计模式，一课三练，既有巩固加深又有综合提高，通过习题使学生能很好地掌握本章的教学内容．IBID版教材也配备了大量的习题，难度由浅入深，设置有梯度，步步深入，适合不同程度的学生学习，让学生能加深对内容的理解，得到很好的巩固效果．在编排上没有特定的格式或标志，因而版面显得很规整．

（4）IBID版微积分的课程广度大于人教版，人教版微积分内容的选取有待进一步的改进．

从课程难度定量分析结果看，IBID版的课程广度较大，知识点系统而全面；人教版微积分的内容较少，课程广度低，由于知识的选择面过窄，有些知识没有遵守“循序渐进”的原则，内容跳跃，打乱了传统的科学体系，致使微积分知识体系的逻辑性得不到体现，这给中学的教和学带来了一定的困难，对学生的后继学习也造成了一定的影响，因此人教版教材在微积分内容的选取上有待进一步改进．

（5）人教版微积分的课时量较少，可适当增加．

从课程时间来看，人教版微积分所占有的24个课时量是比较少的，如此少的课时限制了课程对教学内容的选择，从而影响了微积分在高中数学课程中应该占有的地位，与微积分在现代数学中的重要性不相匹配．

[1] Fabio Cirrito. Mathematies Higher Level (core) [M]. Australia: IBID Press, 2007.

[2] 人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书 数学A版（选修2-2）[M]．北京：人民教育出版社，2010．

[3] 史宁中，孔凡哲，李淑文．课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比[J]．东北师大学报，2005，（6）：151-155．

[4] 吕世虎，高丽．中国与新加坡初中数学教材中概率习题的比较研究[J]．数学教育学报，2010，19（6）：70-73．

[5] 綦春霞．澳大利亚数学课程标准的特点及其启示[J]．比较教育研究，2006，（7）：81-85．

[6] 康玥媛．澳大利亚全国统一数学课程标准评析[J]．数学教育学报，2011，20（5）：81-85．

[7] 胡军．学生学习成果评价标准不能在课程标准中缺失：澳大利亚科学课程内容与标准给我们的启示[J]．课程·教材·教法，2005，（9）：12-17．

[8] 叶立军，王晓楠．中美高中数学教材比较研究——以“几何概型”为例[J]．数学教育学报，2012，21（2）：49-52．