令人着迷的概率

许秋霞

同学们，学习了第8章《认识概率》，你们对生活中的事件是不是有了新的认识？我们可以将事件分为：必然事件、不可能事件和随机事件，感受到随机事件发生的可能性有大有小，并学会了判断、比较一些事件发生可能性的大小. 特别是认识了那位聪明的大臣，看他凭着自己的聪明才智，将“生”这个不可能事件变为必然事件，大家有没有对概率这门学问更感兴趣了呢？今天再让我带同学们一起去看看历史上最有名的概率问题之一——三门问题，其中的奥秘一定会让你深深着迷！

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，出自美国的电视游戏节目Lets Make a Deal. 问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）. 游戏中参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊. 当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊. 主持人然后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门. 问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的概率？

对于“三门问题”，玛丽莲·沃斯·莎凡特（她是截至2008年吉尼斯世界纪录所认定拥有最高智商（IQ）的人）在她专栏的回答是：改选会更有优势！这个回答偏离了大多数人的想法，在美国引起了激烈的争议：人们寄来了数千封抱怨信，很多寄信人是教师或学者. 一位来自佛罗里达大学的读者写道：“这个国家已经有够多的数学文盲了，我们不想再有个世界上智商最高的人来充数！真让人羞愧！”美国陆军研究所的埃弗雷特·哈曼写道：“如果连博士都要出错，我看这个国家马上要陷入严重的麻烦了.”

但是莎凡特并没有错. 最后她用整整4个专栏、数百个新闻故事及在小学生课堂模拟的实验来说服她的读者，她是正确的. “哦，那真是太有趣了. 实际上我十分享受这些讨厌的来信，”她说，“这些家伙我真是爱死他们了！”聪明的同学，你知道为什么吗？

这一问题的关键在于主持人，如果严格按照上述的条件，即主持人清楚地知道，哪扇门后是羊，因为他总会挑一扇后面没有奖品（汽车）的门. 游戏秀的调查数据显示，那些改选的参赛选手赢的概率是那些没有改选的人的两倍，这证实了莎凡特在其第三篇专栏中的解释：“当你从三扇门中选了门1后，这扇门后面有奖的概率是，另两扇门有奖的概率的和是. 但接下来主持人给了你一个线索：如果奖品在门2后，主持人将会打开门3；如果奖品在门3后，他会打开门2. 所以如果你改选的话，只要奖品在门2或门3后你就会赢，两种情况你都会赢！但是如果你不改选，只有当奖品在门1后你才会赢. 所以换门的话，赢得汽车的概率是，而不换门，赢得汽车的概率只有.”真是太神奇了！

下面再请同学开动脑筋，来帮帮这个问题中的看守吧.

亚当、比尔和查尔斯被关在一个监狱里，只有监狱看守知道谁会被判死刑，另外两位将会获释. 有的概率会被处死刑的亚当，给他母亲写了一封信，想要让可以获释的比尔或查尔斯帮忙代寄. 当亚当问看守他应当把他的信交给比尔还是查尔斯时，这位富有同情心的看守很为难. 他认为如果他把将要获释的人的名字告诉亚当，那么亚当就会有的概率被判死刑，因为剩下的人和亚当这两人中一定有一个人会被处死. 如果他隐瞒这信息，亚当被处死的概率是. 你同意看守的这个结论吗？

我们直觉认为亚当会死的概率是，那是因为监狱里有3个人，会死1个. 现在看守说出一个名字后，我们旁观的人知道是2个里面死1个，亚当在内，则亚当会死的概率上升到. 这么说来，亚当会死的概率的确上升了！

正确的答案是：看守不用担心，因为既然亚当知道其他两人中必有一人会获释，那么亚当自己被处死的概率怎么可能会因为看守告诉他其他两人中被获释者的姓名后而改变呢？即使把获释人的姓名告诉亚当，亚当被处死的概率仍然是，没有改变. 但是，剩下的那位没被点名的人就有的概率被处死（被处死的可能性升高了）.

这两个小故事中的概率问题是不是很有趣呢？数学中还有很多这样有趣的故事等待你去探索，去思考，相信你会在数学的故事王国中越来越聪明！

（作者单位：江苏省常州市第二十四中学）endprint