基于代表性滑动面的边坡系统可靠度分析

褚雪松,王旭春,张勇强,李 亮

(1.青岛理工大学土木工程学院,山东青岛 266033;2.北京市市政工程设计研究总院,北京 100082)

基于代表性滑动面的边坡系统可靠度分析

褚雪松1,王旭春1,张勇强2,李 亮1

(1.青岛理工大学土木工程学院,山东青岛 266033;2.北京市市政工程设计研究总院,北京 100082)

边坡可能沿很多个滑动面发生滑动,因此边坡稳定可靠度分析实质上是一个系统可靠度问题。在分析滑动面安全系数相关性的基础上,提出了代表性滑动面筛选的策略,利用蒙特卡罗法产生样本值对每个样本值,仅计算代表性滑动面而非所有可行滑动面的安全系数,选择最小的安全系数作为此样本值的抽样结果,提出了基于代表性滑动面的边坡系统可靠度分析方法。通过2个算例分析,研究了滑动面筛选时相关系数阈值ρ0对计算结果的影响,通过与常规蒙特卡罗法及已有结果的比较,证明了本文方法的有效性及高效性。

土坡稳定;代表性滑动面;系统可靠度分析;极限平衡法;破坏概率;蒙特卡罗法

边坡可靠度分析是岩土工程中十分重要的课题之一,被越来越多的人所关注,因为可靠度分析作为传统定值分析方法的有益补充[1-3],能够考虑土性参数的不确定性对计算结果的影响,得到安全系数的均值与方差,为更好地评估边坡的稳定性提供支持。国内外学者在边坡可靠度分析方面开展了许多卓有成效的工作,如黄超,谢桂华,彭振斌等[4-6]在极限平衡方法的框架内提出了边坡可靠度分析的适用方法,另外,还有学者基于有限元强度折减理论,结合点估计法[7-9],响应面方法[10-12]进行了边坡可靠度稳定分析,并在实际应用中探讨了方法的适用性;唐小松等[13]提出了基于认知聚类分区方法的边坡可靠度分析策略,并获得了与传统的蒙特卡罗方法相一致的结果。然而上述研究往往局限在给定滑动面上的可靠度分析,这与边坡系统可靠度分析有较大差别。采用有限元强度折减方法的边坡可靠度分析,虽然能考虑边坡系统的可靠度,但该方法计算量较大,在一定程度上限制了其应用。

对于边坡系统可靠度分析的研究,Chowdhury等[14]于1995年指出,边坡有可能沿着任意一个滑动面破坏,因此边坡可靠度分析是一个系统可靠度问题[15]。Low等[16]针对挡土墙的倾覆、滑动等不同模式,求解了系统可靠度指标的上、下限,取得了较好效果,但是对于一般的边坡,如何界定几个不同的模式来计算系统可靠度指标的上、下限却没有研究;Zhang等[17]提出基于代表性滑动面的系统可靠度分析方法,然而文献[17]采用响应面方法近似模拟安全系数与土体材料变量之间的关系,响应面的构造是一个比较复杂的过程,而且该响应面的精度直接决定了可靠度分析结果的精度,因此,本文拟在已有成果的基础上,采用极限平衡方法计算滑动面的安全系数,提出代表性滑动面的筛选策略以及基于代表性滑动面的边坡系统可靠度分析方法,通过与已有结果的比较,证明了该方法的有效性。本文先简要叙述边坡系统可靠度问题的概念,接着提出改进的代表性滑动面筛选策略,最后是方法的应用与算例分析。

1 边坡系统可靠度分析

如上所述,边坡系统包含无穷多个可能的滑动面,如S1,S2,…,Si,…,Sn等,其中Si代表第i个滑动面,如果假设该系统是串联系统的,则边坡系统的破坏概率可以表示为

其中,Pf为边坡系统的破坏概率;E(Si)为边坡沿滑动面Si破坏的事件;P(·)为事件的概率。在实际应用过程中,n一般取一较大值(如文献[17]中取n=6 830次),具体取多大还应根据具体问题进行参数敏感性分析得到。对于n个滑动面的边坡系统可靠度问题,本文采用蒙特卡罗法来模拟边坡系统的破坏概率。该法具有应用范围广,不受问题约束等优点。首先简要介绍一下,基于蒙特卡罗法的边坡系统可靠度分析过程。

图1给出了基于蒙特卡罗法的边坡系统可靠度分析流程,在给定的参数抽样值下,对于圆弧滑动面采用简化Bishop法计算其相应的安全系数,对于非圆弧滑动面,采用Morgenstern-Price法计算其相应的安全系数,这样就省去了构造文献[17]中的响应面这一步骤。对于具体的边坡可靠度问题,蒙特卡罗法抽样次数会有不同,一般而言,抽样次数和计算得到的边坡破坏概率Pf之间具有如下关系[18]:

式中,T为蒙特卡罗法中总的抽样次数;CPf为破坏概率的变异系数,即等于破坏概率的标准差除以破坏概率的均值,如果要得到变异系数约为0.1的Pf,则有

图1 边坡系统破坏概率求解的蒙特卡罗法流程Fig.1 Flowchartof Monte Carlomethod based failure probability of slope system

因此,如果边坡系统的破坏概率为0.001,则需要的抽样次数大约为105。蒙特卡罗法的一个显著的缺点就是计算耗时较大,尤其是对于小概率问题。这也正是本文采用代表性滑动面来模拟系统可靠度的初衷之一。

2 改进的边坡系统可靠度分析方法

2.1 滑动面之间的相关性

不同滑动面可能会经过相同的土层,因此上述n个滑动面的安全系数之间存在一定的相关性。下面以一个简单的例子来说明滑动面的安全系数之间存在相关性,从而奠定基于代表性滑动面的边坡系统可靠度分析理论基础。图2为一均质边坡,坡高10 m,坡比1∶1,容重γ=18.0 kN/m3,φ=30.0°作为确定变量,仅考虑黏聚力c为正态随机变量,黏聚力均值μc=18.0 kPa,标准差σc=3.6 kPa,给出3个不同的圆弧滑动面S1,S2,S3如图2所示。

图2 均质边坡随机生成3个滑动面示意Fig.2 Illustration of three slip surfaces for homogeneous slope

假设T=1 000,利用图1介绍的随机数生成方法,生成1 000个符合正态分布的随机数ci,i=1,2,…,1 000,分别将γ,ci,φ作为图2所示均质边坡的土层参数值,计算图2中3个滑动面S1,S2,S3所对应的安全系数,分别记为FSi,1,FSi,2,FSi,3,i=1,2,…, 1 000。以FSi,1为纵坐标,分别以FSi,2,FSi,3为横坐标,绘制散点图如图3所示。由图3可知,S1与S2,S1与S3滑动面的安全系数之间存在函数关系,拟合的函数公式分别为FSi,1=0.879FSi,2-0.020 7和FSi,1=0.921 9FSi,3-0.403 9。由此可见,在计算边坡系统破坏概率时,对于每次抽样,因为要找到最小的安全系数,所以可以只计算S1的安全系数,而不计算S2与S3的安全系数,原因在于FSi,1＜FSi,2,FSi,1＜FSi,3。这样就可以节省计算时间,这就是基于代表性滑动面边坡系统可靠度分析的基础。即S1可以作为S1,S2,S3中的一个代表性滑动面。

图3 S1与S2,S3的安全系数关系Fig.3 Relationships between factors of safety of S1and S2,S3respectively

文献[17]从另外的角度验证了基于代表性滑动面进行边坡系统可靠度分析的可行性,并提出了筛选代表性滑动面的步骤,本文提出了代表性滑动面筛选的新方法,在此基础上进行边坡系统可靠度分析,并与文献[17]结果进行了对比。

2.2 代表性滑动面筛选

对于随机产生的n个滑动面,S1,S2,…,Sn,若要选择代表性滑动面,首先要进行滑动面分组,每组滑动面中两两之间的安全系数是相关的,此处“相关”的含义,严格上来说,即为图3所示的函数关系或者说相关系数ρ等于1,然而在实际应用过程中,利用ρ=1来定义相关的话,代表性滑动面的个数比较多,设ρ0为一阈值,两个滑动面安全系数之间的相关系数大于ρ0,即意味着这两个滑动面属于一组。图4给出了本文提出的代表性滑动面筛选的流程。

图4 代表性滑动面筛选的流程Fig.4 Flowchart of identification of representative slip surfaces

显然,ρ0取值越大,滑动面组数J越大,反之亦然。理论而言,ρ0=1是最严格的。在每组滑动面中可采用可靠度指标来筛选代表性滑动面。滑动面的可靠度指标采用改进的均值一次二阶矩法[19]计算:

其中,βek为滑动面Sk的可靠度指标;m为考虑的随机变量的个数;X=(x1,x2,…,xm),xi为第i个随机变量;σxi为xi的标准差;μX=(μx1,μx2,…,μxm);μxi为xi的均值;FSk(μX)为滑动面Sk相应于μX的安全系数;χij为随机变量xi与xj之间的相关系数。滑动面的安全系数之间的相关系数,采用下式[14]计算:

式中,ρkl为滑动面Sk,Sl安全系数之间的相关系数,其他参数含义同上。

2.3 详细步骤

在代表性滑动面R1,R2,…,RJ确定以后,利用蒙特卡罗法进行边坡系统可靠度分析的流程基本与图1类似,惟一的区别在于图1中虚线所示的步骤,将代表性滑动面R1,R2,…,RJ代替S1,S2,…,Sn,则图1即变为基于代表性滑动面的边坡系统可靠度分析流程,在此不再赘述。

3 算例分析

3.1 算例1

考虑文献[17]中的一均质土坡,坡高5 m,坡比1∶1,其剖面如图5所示,容重γ=19.0 kN/m3,黏聚力c和内摩擦角φ视为独立正态分布随机变量,c的均值μc=10.0 kPa,标准差σc=2.0 kPa,φ的均值μφ=20°,标准差σφ=2°。根据文献[17]结果,结合式(3),确定蒙特卡罗法抽样次数T=5 000,随机产生n=10 000个圆弧滑动面,首先选取不同的ρ0,利用本文所提的代表性滑动面筛选策略,进行了代表性滑动面筛选,以代表性滑动面个数为纵坐标,以ρ0为横坐标,绘制变化曲线如图6(a)所示。

由图6(a)可见,当ρ0取值小于或等于0.5时,代表性滑动面的个数均为1,这说明任意2个滑动面之间安全系数的相关系数均大于0.5,随着ρ0逐渐增大直至0.9,代表性滑动面个数维持在3个,当ρ0= 0.99时,代表性滑动面个数增至11个。这说明,相关系数介于0.90～0.99的滑动面个数较多。图7(a)绘出了不同ρ0得到的边坡系统破坏概率Pf,由图7(a)可知,不同的ρ0均得到了相同的Pf,说明对于该均质边坡,只有一个主要的滑动模式(滑动面),即最小可靠度指标或者最大破坏概率对应的滑动面,也称之为临界可靠度滑动面。虽然ρ0=0.99时得到了11个代表性的滑动面,但是其中的10个滑动面对边坡的破坏没有贡献,因此对于该均质边坡ρ0对计算结果没有影响,当ρ0=0时,筛选到的代表性滑动面即为临界可靠度滑动面。图5中绘出了临界可靠度滑动面位置,传统方法搜索出的最小安全系数滑动面与图5中临界可靠度滑动面位置重合。

图5 算例1边坡剖面及临界可靠度滑动面示意Fig.5 Cross-section and critical probabilistic slip surface of homogeneous slope in case 1

图6 代表性滑动面个数随ρ0变化Fig.6 Variation of number of representative slip surfaces with different values ofρ0

文献[17]给出Pf=2.8%,本文所得的破坏概率为2.94%。产生不同的原因主要在于,前者是基于拟合的响应面来计算抽样值对应的安全系数,而后者是基于简化Bishop法计算对应的安全系数。利用图1所示的常规蒙特卡罗法,采用与基于代表性滑动面策略相同的抽样次数T=5 000进行计算,所得到的破坏概率为3.04%,两种方法的误差为3.3%。

图7 边坡破坏概率随ρ0变化Fig.7 Variation of failure probability with different values ofρ0

表1比较了常规蒙特卡罗法与本文基于代表性滑动面边坡系统可靠度分析所需的时间。(所有的计算均在同一台式机单独进行,配置:3.25 G内存,英特尔酷睿2四核处理器(2.40 GHz))。由表1可见,本文提出的基于代表性滑动面的边坡系统可靠度分析方法的耗时大都在1～2 min,而MCS的耗时高达48 837 s,接近14 h。表1还给出了不同情况下安全系数的计算次数对比,常规蒙特卡罗法需要5 000万次计算次数,而基于代表性滑动面的方法仅需要5～10万次。证明了本文方法的高效性。

表1 不同方法的耗时比较Table 1 Com parison of com putational effort from d ifferentmethods

3.2 算例2

考虑文献[17]中一填土边坡(图8),填土的容重=18 kN/m3,黏土的容重=20 kN/m3,这2个值作为确定性变量。上层填土的黏聚力c和φ以及下层黏土的不排水强度Su视为正态分布随机变量,c的均值μc=10 kPa,φ的均值μφ=12°,Su的均值μSu= 40 kPa,c的标准差σc=2 kPa,φ的标准差σφ=3°,Su的标准差σSu=8 kPa。确定蒙特卡罗法的抽样次数T=1 000次。

图8 填土边坡示意Fig.8 Cross-section of fill embankment slope

同样地,首先选取不同的ρ0,利用本文所提的代表性滑动面筛选策略,进行了代表性滑动面筛选,以代表性滑动面个数为纵坐标,以ρ0为横坐标,绘制变化曲线如图6(b)所示。ρ0=0时,只有一个代表性滑动面,如前所述可知,此代表性滑动面即为临界可靠度滑动面。当ρ0=0.1时,代表性滑动面个数增至3个,这表明存在着相关系数介于0～0.1之间的滑动面。当ρ0增大至0.7以前,代表性滑动面的个数一直保持为3个,当ρ0=0.7,0.8,0.9时,代表性滑动面个数分别增至4,5,9个,当ρ0=0.99时,代表性滑动面个数增至49个。图7(b)给出了Pf随ρ0变化的曲线。当ρ0=0时,只能得到临界可靠度滑动面作为代表性滑动面,此时所得Pf=0.138,当ρ0≥0.1时,得到了一致的破坏概率,即Pf=0.257,这说明此边坡除临界可靠度滑动面以外,还有其他滑动面对其破坏有贡献。图9给出了ρ0=0.1时,筛选到的3个代表性滑动面R1,R2,R3。在计算过程中,统计了3个代表性滑动面破坏的次数,R1为138次,R2为149次,R3为3次。边坡系统总的破坏次数为257次,为了更清楚地了解3个代表性滑动面的贡献,当R2不破坏时, R1破坏的次数为108次,两者之和正好等于257次,因此R1和R2控制着边坡系统的破坏。R3对边坡的破坏没有贡献。本例中,临界可靠度滑动面(概率最大的滑动面)为R2,传统方法搜索出的最小安全系数滑动面也为R2,二者是重合的,但是若仅仅在最小安全系数滑动面上进行可靠度分析,所得破坏概率将会远小于系统可靠度的破坏概率,因为忽略了另外一个代表性滑动面R1的贡献。关于概率最大滑动面与最

小安全系数滑动面的对比,可参见文献[20]。

图9 代表性滑动面位置示意Fig.9 Locations of representative slip surfaces

采用与基于代表性滑动面策略相同的抽样次数T=1 000进行计算,表2比较了常规蒙特卡罗法与本文基于代表性滑动面边坡系统可靠度分析所需的时间。由表2可见,本文提出的基于代表性滑动面的边坡系统可靠度分析方法的耗时大都在1～2 min,而MCS的耗时高达10 727 s,接近3 h。表2还给出了不同情况下安全系数的计算次数对比,常规蒙特卡罗法需要1 000万次计算次数,而基于代表性滑动面的方法仅需要7～12万次。

表2 不同方法的耗时比较Table 2 Com parison of com putational effort from d ifferentmethods

4 结 论

(1)当ρ0=0时,边坡只有一个代表性滑动面,此滑动面即是边坡的临界可靠度滑动面。

(2)当ρ0从0逐渐增大时,代表性滑动面的个数保持不变或者增大,当ρ0接近1.0时,代表性滑动面个数会增至10个以上,但部分代表性滑动面对边坡的破坏没有贡献。对于均质边坡,一般是临界可靠度滑动面控制着边坡的破坏;对于多层边坡情况,会有多个滑动面控制边坡的破坏;一般来说,可以取ρ0=0.9进行计算。

(3)方法的计算时间方面,在相同的参数下,本文基于代表性滑动面的边坡系统可靠度方法只需1～2 min,而常规的蒙特卡罗法却需几个小时。

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Slope system reliability analysis based on representative slip surfaces

CHU Xue-song1,WANG Xu-chun1,ZHANG Yong-qiang2,LILiang1
(1.School ofCivil Engineering,Qingdao Technological University,Qingdao 266033,China;2.Beijing General Municipal Engineering Design&Research Institute,Beijing 100082,China)

Slope reliability of stability problem is in essence a system problem,where slopemay fail along any individual slip surface.Based on the analysis of the correlation between factors of safety of different slip surfaces,an approach to identify representative slip surfaces was proposed.Sets of random samples were generated by Monte Carlo simulation,and the output corresponding to each set of random samples was selected as theminimum factor of safety among those of representative slip surfaces instead of total potential slip surfaces.The proposed methodology of slope system reliabilitymethod based on representative slip surface was applied to two excerpted examples and the effects of values of threshold correlation coefficientρ0were studied.The effectiveness and efficiency of themethodology were validated against results from differentmethods.

soil slope stability;representative slip surface;system reliability analysis;limit equilibrium method;failure probability;Monte Carlo method

TU457

A

0253-9993(2014)06-1077-07

褚雪松,王旭春,张勇强,等.基于代表性滑动面的边坡系统可靠度分析[J].煤炭学报,2014,39(6):1077-1083.

10.13225/j.cnki.jccs.2013.0870

Chu Xuesong,Wang Xuchun,Zhang Yongqiang,et al.Slope system reliability analysis based on representative slip surfaces[J].Journal of China Coal Society,2014,39(6):1077-1083.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2013.0870

2013-06-20 责任编辑:常 琛

国家自然科学基金资助项目(51274126);大连理工大学海岸与近海工程国家重点实验室开放基金资助项目(LP12014);2013年国家安全生产重大事故防治关键技术科技项目(2013-SD-39)

褚雪松(1977—),女,辽宁铁岭人,博士研究生。Tel:0532-85071207,E-mail:celldl@126.com。通讯作者:李 亮(1977—),男,山东济南人,副教授。Tel:0532-85071207,E-mail:ll_sdjydszylm@163.com