电磁感应中一些容易引发疑惑问题的分析

赵 坚

(昆明市五华区教育科学研究中心、五华区教师进修学校 云南 昆明 650031)

1 问题提出

最近，有教师向笔者提出在电磁感应教学中遇到的一些疑惑问题.

【例1】如图1所示，一边长为L的正方形线框abcd某时刻在水平匀强磁场中以速度v竖直下落，磁场的磁感应强度大小为B，方向与线框平面垂直．

图1

问题一：按照电磁感应中感应电流的通量法则，穿过正方形线框abcd的磁通量没有发生改变，故正方形线框中没有感应电流．但按照闭合电路部分导体切割磁感线运动，上、下两边切割磁感线，必然要产生感应电动势，出现感应电流．正方形线框就要受到向上的磁场力作用，运动就不仅是在重力作用下的匀加速运动．导致这两种处理结果相互矛盾的原因是什么？

问题二：正方形线框加速下落时，上、下两条边的速度越来越大，切割磁感线产生的动生电动势越来越大(两条边的电动势方向一致，左负，右正)，导致左、右两条竖直边ad和bc边之间的电势差越来越大．这是否是电荷在水平导体中向左右两侧聚集形成的？如果是这样，那么两条水平导体中不是就有同向且向右的电流了？这时的两条竖直边似乎像是一个电容器，不断被充电，能这样理解吗？

问题三：从微观角度看，正方形线框下落时，上、下两条边里面的自由电荷也随之向下运动，具有向下的速度．自由电荷(电子)将受到水平向左方向的洛伦兹力，从而向ad一侧聚集，所以bc边的电势高于ad边．并且自由电荷(电子)有了水平向左的速度后，又将受到向上的洛伦兹力，这是否就是所谓宏观的磁场力(安培力)？

以上这些问题，涉及到导体切割磁感线产生的感应电动势、电势差，安培力与洛伦兹力的关系以及如何理解它们的做功等等．鉴于清楚认识这些问题有利于加深我们对电磁感应部分相关知识的正确理解，故在此试图做点探讨，供大家教学中参考．

2 对问题的分析与探讨

2.1 如何理解动生电动势 洛伦兹力与安培力的关系

众所周知，磁感应强度B大小、方向不随时间变化而闭合电路的整体或者部分在运动，这样产生的感应电动势叫做动生电动势．对闭合电路的整体或者部分在匀强磁场中运动时(如图2所示)，运动的那一部分导体中的电荷(电子)在磁场中要受到洛伦兹力作用，而此洛伦兹力也正是动生电动势出现的原因．

图2

这一说法自然会让我们产生一个疑惑，电动势是单位电荷运动时非静电力的功，而与动生电动势相应的非静电力是洛伦兹力，那么，岂不是说洛伦兹力做功不为零了？另外，我们说运动电荷所受洛伦兹力恒与运动方向(v)垂直，所以洛伦兹力做功恒为零；但是洛伦兹力的宏观表现——安培力在受力导体运动时却可能做功，这又似乎出现矛盾？

如何正确理解看待这个问题一直是普遍存在于中学物理教师中的一个难点，究其原因，关键性之处主要是容易把问题割裂开来处理所导致．

事实上，如果综合各方面因素来分析，问题就比较容易看得清楚．

图3

如图2和图3所示，随着导体ab段动生电动势的出现，闭合电路中将产生电流，考虑ab段内一电子，其速度由两部分组成：随导体向右的速度v和因受到洛伦兹力f而向下运动(形成感应电流)的速度v′．电子的合速度V=v+v′，其所受到的总洛伦兹力F也分别由两部分合成：与v相应的部分f，方向向下；和与v′相应的部分f′，方向向左．由于总洛伦兹力F与受力电子的总速度v垂直，故不做功．但从宏观角度看，F的两部分却分别起着不同的作用：f与导体ab平行，起着电源中非静电力的作用，f沿着导体的积分就表现为动生电动势；f′与导体ab垂直，在宏观上表现为导体ab受到的安培力(向左)．然而值得注意的是，对这个安培力的理解我们不能认为是所有受到力f′作用的自由电子的合力．虽然力f′作用在自由电子上，但是由于自由电子不会越出金属导体，它所获得的冲量最终都会传递给金属的晶格骨架，因而宏观上看起来是金属导体本身受到这个力．

由于电子在f作用下有沿着导体ab的速度v′，故f做正功；而导体ab的平移速度v与f′相反，故f′(对应的安培力)做负功．容易证明[1]，这两份功的数值是相等的，所以f与f′所做总功为零．亦即洛伦兹力总的来说并不做功，但是做宏观讨论时往往把它分为两部分f和f′，其中每一部分都做了功，可是两个功的代数和为零．所以，洛伦兹力的作用并不提供能量，而只是传递能量，即外力克服洛伦兹力的一个分量f′所做的功通过另外一分量f转化为感应电流的能量．

2.2 如何看待正方形线框在水平匀强磁场中竖直下落时涉及的物理机制

如图4所示，选取导体dc段为研究对象，线框竖直下落时，dc段内的自由电子受到向左的洛伦兹力f′(对应速度v)的作用向左运动；与此同时，由于自由电子向左的运动，又使得自由电子受到向上的洛伦兹力f(对应速度v′)的作用．

图4

可是，这又出现了一个疑问，即随着线框的加速下落，洛伦兹力f′越来越大，这就要求电场力F电越来越大，亦即要求电场越来越强，导体dc两侧聚集的电荷必须越来越多才行．但是这些聚集的电荷从哪里来？反过来看，如果导体dc两侧需要聚集的越来越多的电荷是由于自由电子移动的结果，那么就必然会引起电流，整个线框宏观上就要受到向上的安培力，线框就不可能做自由下落，这岂不是与公认的电磁感应中感应电流的通量法则判定所得出的结果相矛盾吗？问题到底是出在哪儿？或者说这其中涉及的物理机制应该如何来看待？

事实上，此时线框的运动的确不是仅在重力作用下的自由下落，而是上、下两边受到了磁场作用的阻尼力(按照阻尼的力学模型，阻尼是指任何振动系统在振动中，由于外界作用或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性，以及此特性的量化表征．而由此定义的阻尼力一般是一个与振动速度大小成正比，与振动速度方向相反的力)．当然，线框虽然受到阻尼力作用，但对整个线框而言并不违背电磁感应中感应电流的通量法则，因为线框内并没有整体的电动势．对此，从动生电动势Eab=Edc以及二者的连接关系不难看出，它们互相起到了电势补偿作用，而这种补偿的结果使得整个正方形线框回路感应电流I=0，电路达到平衡，所以宏观上讲在整个线框中是不会有感应电流出现的．

另外，随着矩形线框不断下落，上、下两边切割磁感线产生的动生电动势越来越大，致使左、右两条竖直边ad和bc边之间的电势差越来越大，原先导体dc两端建立的库仑场对导体dc中的自由电子的作用力与洛伦兹力的平衡关系被打破(对导体ab两端，情况相同)，导致自由电荷在上、下水平导体中向左右两侧聚集，两条水平导线中有同向向右的电流，这时的两条竖直边可以认为像是一个电容器不断被充电，但由于电容极小，故充电电流是可忽略的，所以磁场的阻尼力作用通常不考虑．关于这一点，在此通过一道试题作出简单分析．

如图5所示，长为L的金属棒ab与竖直金属导轨接触良好，电容器电容为C，某时刻金属棒的速度为v，匀强磁场的磁感应强度大小为B．

图5

金属棒中的电流为

其中，E为动生电动势，U为电容器两端电压

U=E=BLv

值得弄清楚的是，因阻尼力作用，线框损失的重力势能并未全部转化为线框的动能，而是一部分成为充电的能量．

参考文献

1 赵凯华，陈熙谋编著.新概念物理教程· 电磁学.北京: 高等教育出版社, 2006