基于灰关联度的数控磨床故障间隔时间分布模型决策*

范晋伟，梁晓霞，郑德荣，刘勇军

(北京工业大学 机电学院，北京 100124)

0 引言

科学技术的高速发展，使可靠性变成了产品的重要指标之一，并贯穿于产品的整个研制过程。数控磨床作为现代制造业的工作母机，其对可靠性研究的需求也显得越来越迫切［1］。平均无故障间隔时间(即MTBF)作为衡量数控磨床可靠性的一个重要指标，其计算的精确性也日渐重要。

可靠性评价过程中，首先要收集整理数控磨床无故障间隔时间，对数据进行分析处理后，给出该系列数控磨床的故障间隔时间的分布模型。通常采用的模型有威布尔分布、指数分布、正态分布和指数正态分布，但具体符合哪种分布大部分情况仍然由人为因素决定，故本文引入了灰色关联度分析法。

灰色关联度分析法是灰色系统分析方法的一种，灰色系统理论提出了对各曲线形状进行灰色关联度分析的概念。灰色关联度分析的意义是指在曲线拟合过程中，如果两条曲线的变化态势是一致的，即拟合程度较高，则可以认为两者关联度较大;反之，则两者关联度较小［2］。因此，通过计算比较拟合曲线关联度的大小，便可更准确的决策故障间隔时间的分布类型，从而可精确计算数控磨床无故障间隔时间。

1 灰色关联度分析法简介

灰色关联度分析［3-4］来自灰色系统理论，最早由邓聚龙教授于1982 年创始。灰关联分析法的基本思想是根据统计序列曲线与拟合分布几何形状的相似程度来确定相关联度。两曲线的几何形状越接近，它们的关联程度越大。对于时间离散序列，所谓两条曲线的接近程度是指两时间序列在对应各时段上的曲线斜率的接近程度，若两曲线在各时段上的曲线斜率相等或相差较小，则两曲线的关联度就大，反之就小。通过二十多年大批学者的发展，相继发展了相对关联度、绝对关联度、斜率关联度、T 型关联度、B 型关联度、C 型关联度以及若干种改进的关联度计算方法，吉林大学张英芝等人参考王坚强教授提出的新的灰色关联度的计算模型［5］，将灰色关联分析引入机床故障分布拟合的择优中。具体方法如下:

(1)生成增量序列:

(2)标准化:

(3)计算各时间点的关联系数:

ξ(tk)=

(4)计算两序列的关联度r(x1，x2):

r(X1，X2)越大，则拟合的分布与样本图在相邻两时间点的曲线斜率越相近，则拟合分布曲线就越能描述故障间隔时间的分布规律。因而r(X1，X2)最大的分布模型为描述产品故障分布规律的最佳函数。

2 灰关联度分析在数控磨床中的应用

本文以MSK 系列数控磨床为例，运用灰关联分析法对其故障间隔时间分布模型进行决策。

2.1 可靠性数据采集

可靠性采集数据的方式有定数截尾、定时截尾、随机截尾三种方式［6］。

鉴于分析对象为数控磨床，成批量生产，且使用厂家分散，不可能进行全数试验。而且基于产品故障间隔时间从几小时到上千小时不等，范围较广，不方便使用定数截尾试验，因论文对包装机械采用定时截尾试验。

2.2 绘制散点图

将统计的样本点按从小到大的顺序排列，以样本值为横坐标，对应的经验分布函数值为纵坐标，得到故障间隔时间累积分布函数F(t)的散点图。

设寿命样本值由小到大的观测值为:t1≤t2≤tn，则其经验分布函数［7］为:

根据上式计算各故障对于的经验分布函数值结果如表1 所示。

表1 图形拟合检验数据计算表

以ti作为横坐标，F(ti)作为纵坐标，即可获得故障间隔时间样本分布的散点图，如图1 所示。

图1 分布函数散点图

2.3 故障间隔时间分布函数的拟合与检验

由图1 的曲线走势可知，该数控磨床故障间隔工作时间所服从的分布不会是正态分布或对数正态分布，而可能是指数分布或威布尔分布。

2.3.1 威布尔分布

(1)分布拟合

威布尔分布密度函数为［8］

威布尔分布函数为

式中，m为形状参数，m ＞0 ;η 为尺度参数，η＞0 ;γ为位置参数，γ＞0 。在实际应用中，往往假设在t =0时产品便发生故障。这样，简化为两参数威布尔分布，相应地，上式分别简化为:

对于两参数威布尔分布［9］，其累积分布函数为

对上式两端进行变换，并取自然对数得

设样本的线性回归函数为:

则，B = m，A = - mlnη

根据最小二乘法的原理，假设y与x有如下关系:

其中εi～N(0，σ2)，

解矩阵方程得:

图2 为威布尔分布拟合出来的概率分布函数:

图2 威布尔分布拟合概率分布函数

(2)线性相关性检验

由于威布尔分布可以变成线性关系来处理，故在显著水平α=0.05 下采用相关系数法进行检验。

若采用相关系数法进行检验，其相关系数为［10］:

由于有105 个故障间隔时间，显著水平位0.05，则查表可以得到ρ(103，0.05)=0.19179 。

经计算得威布尔拟合函数的线性相关系数为:

2.3.2 指数分布

(1)分布拟合

指数分布概率密度函数为［8］:

指数分布函数为:

根据最小二乘法的原理拟合得:

则指数分布函数为:F(t)=1- e-0.001388723t

图3 为指数分布拟合出来的概率分布函数:

图3 指数分布拟合概率分布函数

(2)线性相关性检验

同样在显著水平α=0.05 下采用相关系数法进行检验［10］:

2.4 灰关联度分析法决策分布模型

根据灰色关联度分析方法的具体计算过程，下面分别计算两种分布的关联度值。

首先计算增量序列，其中Δy1表示威布尔分布拟合的数据列的增量，Δy2表示指数分布拟合的数据列的增量，Δy0表示原始整理的数据列的增量。然后分别进行标准化、计算各时间点的关联系数。最后分别求得威布尔分布和指数分布拟合数据列与采集故障数据列的关联度r(X1，X0)和r(X2，X0)为:

从几何上，灰关联度分析法实际上是一种曲线间几何形状的分析比较，即几何形状越接近，则关联度越大，反之则小。所以根据上述计算结果，指数分布的灰色关联度更大，所以确定MSK 系列数控磨床的故障间隔时间的分布符合指数分布。

3 结论

灰色关联度分析法已成功应用于很多领域，并取得很好的效果。但在数控磨床可靠性领域的应用却几乎没有。本文将灰色关联度分析法引入数控磨床故障间隔时间分布模型的决策中，能够定量的择优选择分布模型，避免了很多认为因素，使可靠性评价的结果更准确、更具说服力。同时，将MKS 系列数控磨床作为实例，运用灰关联度分析法进行故障间隔时间分布模型的决策，详细说明了灰关联分析的具体方法和步骤。最后，灰关联度分析简单、实用，在数控磨床可靠性研究过程中发挥了很大作用。

［1］邱邵虎，吴必才，苏春.国产数控机床可靠性现状及其改善对策研究［J］.中国制造业信息化(学术版)，2009，38(7):1-4.

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［6］金伟娅，张康达. 可靠性工程［M］. 北京:化学工业出版社，2005.

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