Bézier曲线到AH-Bézier曲线的升阶算法

沈莞蔷，汪国昭

1.江南大学理学院，江苏无锡 214122

2.浙江大学CAD&CG国家重点实验室，杭州 310027

3.浙江大学数学系，杭州 310027

Bézier曲线到AH-Bézier曲线的升阶算法

沈莞蔷1，汪国昭2，3

1.江南大学理学院，江苏无锡 214122

2.浙江大学CAD&CG国家重点实验室，杭州 310027

3.浙江大学数学系，杭州 310027

关于曲线升阶，已有的结论往往限于同类曲线之间。为了突破这一限制，考虑不同类曲线间的升阶，关注代数多项式空间中的Bézier曲线到代数双曲多项式空间中的AH-Bézier曲线的升阶。研究从基函数入手，利用Bézier和AH-Bézier共有的求导降阶的特点，结合矩阵分块的思想，先给出AH-Bézier基到Bernstein基的转换矩阵，进而推出控制顶点的升阶公式，最后给出升阶算法。结果表明，任意n次Bézier曲线可以通过该算法升到n+3阶（等同于n+2次）的AH-Bézier曲线。算法实现了Bézier到AH-Bézier曲线模型的精确转换。

Bézier曲线；AH-Bézier曲线；升阶；基函数；转换矩阵

1 引言

在计算机辅助几何设计中，Bézier是最简单，最常用的模型之一。它在代数多项式空间中定义，可造型曲线的种类不够多，不能精确表示圆、双曲线等经典曲线。有理Bézier造型丰富，但有求高阶导复杂和分母零点的奇异性等特点。因此，近年来，可用非有理形式造型圆等经典曲线的其他空间的拟Bézier系统不断涌现[1]。譬如，纯三角空间的p-Bézier[2]和T-Bézier[3]，纯双曲空间的拟Bézier[4]，代数三角混合空间的C-Bézier[5-6]，代数双曲混合空间的AH-Bézier[7]，代数三角双曲混合空间的AHT Bézier[8]，以及用复数思想统一代数三角双曲的ω-Bézier[9-10]等。这些拟Bézier系统得到了广泛深入的研究，已应用于数据压缩[11]、工程曲线曲面的造型[12]与设计[13]等方面。

升阶是现有曲线造型系统的常用手段。……