分式线性递推数列的周期性

刘国祥

（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）

分式线性递推数列的周期性

刘国祥

（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）

分式线性递推数列，其通项公式比较复杂.通过对不动点的研究，不需要求出通项公式，给出判定周期性的充分必要条件.

数列；递推数列；通项公式；不动点；周期性

求递推数列的通向公式，除特殊情况外，一般都比较困难.文献[1]讨论了二阶线性递推数列的周期性，方法是通过通项公式，过程非常繁琐.分式线性递推数列，其通项公式更加复杂.下面通过对不动点的研究，不需要求出通项公式，给出周期性的结论.

定义1 递推数列

叫做分式线性递推数列.

定义2 方程

的解，叫做分式线性递推数列（1）的不动点.

当c=0时，（1）成为一阶线性递推数列，它的通项和周期性都非常简单.

当然也可以转化为二阶线性递推数列：

再用文献[1]结论.

当ad-bc=0时，（1）成为常数列.当然可以看做是周期为1的周期数列.

所以，以后总假定c≠0,ad-bc≠0.

c≠0,ad-bc≠0)的不动点为p,q，并且a1≠p,a1≠q.则

（1）如果p≠q，

（2）如果p=q，

这个引理参看文献[2]，为了行文方便，原文式（6）中，k=，与这里相等.顺便指出，原文式（7）中，显然错误.当a1=p（或者a1=q），成为常数列.

引理2数列{an}，{bn}满足bn=f(an)，其中函数f(x)存在反函数，则数列{bn}是周期数列的充分必要条件是数列{an}是周期数列，并且两数列的周期相等.

证明 必要性 设数列{bn}是周期为T的周期数列，由已知

bn=f(an)，可以得到an=f-1(bn).

这就说明数列{an}是周期数列，T也是它的一个周期.设它的最小正周期是T',则T'|T.

反过来，由于bn+T'=f(an+T')=f(an)=bn.

则T'也是{bn}的一个周期，故有T|T'.

这样就得到T=T'.

（1）当a1=p或者a1=q时，数列{an}是常数列，T=1.

（2）当a1≠p，a1≠q，p,q∈R，p≠q时，数列{an}是周期数列的充分必要条件是a+d=0，并且T=2.

（3）当a1≠p，a1≠q，p,q是共轭虚数时，数列{an}是周期数列的充分必要条件是并且周期是T.

（4）当a1≠p，a1≠q，p,q∈R，p=q时，数列{an}不是周期数列.

证明 p,q为（2）的两个不动点.也就是，p,q是方程

（1）当a1=p或者a1=q时，由于p,q为（2）的不动点,显然，数列{an}是常数列，an=a1(=p或者q)，T=1.

（2）当a1≠p，a1≠q，p,q∈R，p≠q时，根据引理1和引理2，显然，数列{an}是周期为T的周期数列的充分必要条件是：

从而，|cq+d|=|cp+d|

也就是a+d=0.

而当a+d=0时，

（3）当a1≠p，a1≠q，p,q是共轭虚数时，cq+d和cp+d也是共轭虚数.数列{an}是周期为T的周期数列的充分必要条件是（10）成立.

故（11）成立.由（10），得an+T=an.

（4）当当a1≠p，a1≠q，p,q∈R，p=q时，根据引理1之情况（2）.

根据引理2，数列{an}不是周期数列.

从定理可以看出，除常数列（也可以看做周期是1的周期数列）外，当有两个不相等的不动点时，无论是实数还是虚数，分式线性递推数列（1）才可能是周期数列.

则周期为2.实际上，数列为：1，-3,1，-3，……

解a=1,b=1,c=-1,d=1

解出两个不相等的虚数特征根为i,-i.

则周期为4.实际上，数列为：

〔1〕黄克之，黄军华.关于an+2=pan+1+qan的周期性[J].数学通讯（下半月），2013（9）：38—40.

〔2〕陈传理，张同君.竞赛数学教程[M].北京：高等教育出版社，2004.166—167.

〔3〕刘国祥，那日苏，葛景元.一个递推数列的通项公式及应用[J].昭乌达蒙族师专学报，2003（2）：11—12.

〔4〕刘国祥，苏尼来.关于两个数列的通项[J],赤峰学院学报，2005（2）：6-7.

O122.7

A

1673-260X（2014）04-0001-02