主变元思想在圆锥曲线中的应用

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(海宁市高级中学 浙江海宁 314400)

直线与圆锥曲线的综合问题是历年高考的重点内容之一，也常常是难题的载体，是学生取得高分的制高点．直线与圆锥曲线问题的解决，往往要将代数与几何的方法完美结合，既有代数的函数与方程、分类讨论、代数变式等思想应用，又有几何性质的参与，综合性较强，主要涉及的问题常有：定点定值问题、参数求最值或范围的问题、位置关系的判定、长度或面积的求值问题等等，对学生综合解决问题的能力要求较高．而学生在处理这些问题时，往往只会利用通式通法，而对参量本身的选择与应用把握不到位，结果发现问题的处理过程复杂、计算繁琐，最后不了了之．因此，直线与圆锥曲线问题的处理，特别需要关注参数的选取和应用．

1 课堂实录

高二下学期，笔者在上选修内容“圆锥曲线与方程”的习题课时，有过这样一次精彩的历程，实录如下：

生1：设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线相交于点A(x1,y1)，B(x2,y2),联立直线与抛物线方程得关于x的一元二次方程

k2x2+(2kb-4)x+b2=0，

从而

由题意

后面我解不下去了．

师：谁能接着解下去？

师：生1和生2使用的是通式通法，利用题目中的等量关系列方程，步骤也很完整，究竟错在哪里呢？

生3：参数选择不恰当.结合几何性质，参数k与b应该符号相反，即b=-2k，从而y=k(x-2)，定点为(2,0)．但生1和生2的解法中平方掩盖了这个事实，平方产生了增根，导致错误.我的解答是：只选择点参数，围绕点的坐标解答.

化简得

(y1+y2)y-4x+8=0，

即

因此直线l过定点(2,0)．

(全体学生……