基于现代教学理念下数学项目活动学习课的构建研究
——以高中数学“斐波那契数列”为例

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(杭州第十四中学 浙江杭州 310006)

我们知道，数学项目活动学习课的基本思路为：情境引入、数学花絮、知识背景、教学目标、学习模块建议、实施建议、评价建议等.活动课可根据某个知识的不同方面划分为多个模块，既有理论型模块，也有实践动手型模块.每个学生可以根据自己的喜好选择最感兴趣的模块进行实践.每个模块再给出若干个指导问题，引导学生通过自主探究和讨论找出问题的答案.下面以高中数学“斐波那契数列”为例，由教师提出斐波那契数列这一数学知识，指导学生利用课余时间自主探究斐波那契数列在各领域中的应用，最后以小组汇报的形式将研究成果向师生展示.

1 学习目标设计

(1)通过教师讲解使学生了解斐波那契数列的历史及定义.

(2)启发学生利用类比、归纳、猜想等数学方法探索研究斐波那契数列的性质及特点.

(3)通过学生亲历各种数学活动，自主利用书籍、网络等现代技术手段学习知识进而解决问题，培养学生的自学能力和收集、加工、整理、利用信息的能力.

(4)通过对现实世界数学素材的收集、整理，让学生感受生活中的数学无处不在，感受数学美和数学的巨大作用，了解数学与其他学科的关系，激发学习数学的兴趣和求知欲.

(5)通过小组合作和成果汇报，培养学生的交流能力和团队合作意识.

2 学习活动模块

1202年，意大利数学家斐波那契在他的著作《算盘书》中，提出了一个问题：

假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生的一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡，问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？

师：同学们，你和你的小组成员可以从以下的几个活动建议模块中任选一个或多个感兴趣的模块进行研究.

模块1斐波那契数列的数学奥秘

斐波那契数列具有很多奇妙的数学特征，你能否找出这些特征呢？

问题1上述斐波那契数列是用递推公式表示的，如果仅仅依靠递推关系式求解恐怕会很麻烦，你有什么好办法吗？它的通项公式是什么？

问题2通过计算和观察，请你说说斐波那契数列有哪些性质(如通项公式、项与项之间的关系等).

问题3斐波那契数列还与其他一些数学知识有着微妙的联系，你能找出来吗(如杨辉三角、黄金分割)？

问题4设计一个计算机的程序，可以求解斐波那契数列的任意一项.

模块2斐波那契数列与植物

植物界中的众多植物都偏爱于斐波那契数列，这是偶然的巧合还是大自然的法则？

问题1观察叶子的生长规律，它与斐波那契数列有什么联系吗？

问题2观察身边的花朵，说说它们与斐波那契数列的关系.

问题3观察植物的果实，从中找出斐波那契螺旋.

模块3斐波那契数列与动物

动物界中也有众多现象与斐波那契数列有关，你能发现它们吗？

问题1你知道，蜜蜂的繁殖有什么规律吗？它与斐波那契数列有什么联系？

问题2细菌的传播与斐波那契数列有关吗？

问题3动物的身上也有斐波那契螺旋吗？

模块4斐波那契数列与艺术

斐波那契数列不仅是自然界的设计师，它还给音乐艺术带来了许多灵感.巴赫的作品《赋格的艺术》背后的数学定理就是斐波那契数列！许多建筑物运用了斐波那契螺旋线使得建筑物设计美轮美奂.

这一晚的刺心魔术，他命名为“钻心时刻”，在场的许多人检查过那柄匕首，毫无机关，可它刺入杜朗的胸腔，就是毫发无伤。可最后，他失手了。一场惊心动魄的魔术，瞬间变成了一桩血案，没人知道这是一场意外，还是一场谋杀。

问题1请你试着分析斐波那契数列在乐曲中的应用规律，并按照这个规律创作一段简单的乐曲.如果有困难，也可以请教音乐教师.

问题2乐器中也能找到斐波那契数，请试一试！

模块5斐波那契数列与高中数学

中学数学中有许多习题的背景也是斐波那契数列的应用.

问题1还记得《数学(必修2)》第90页的魔术吗？你能揭秘这个魔术背后的奥秘吗？你能自己设计一个类似的魔术吗？

问题2蜂房问题.

问题3爬楼梯问题.

模块6动手构建神奇的数列

斐波那契数列是如此的神奇，请你也来构造一个神奇的数列，并说明它的神奇之处.

问题1将斐波那契数列的开始2项改变，数列的一些性质发生了哪些变化？

问题2查阅资料了解卢卡数列、托里波那契数列，这些数列与斐波那契数列有什么关系吗？

3 实施建议

确定小组成员，明确选择模块主题；

小组成员明确各自在分组活动中的角色，合作完成项目；

活动期间利用网络、书籍等资源查找相关资料，遇到困难可以向其他学生和教师求助，采纳有效的意见继续完成项目；

学生进行研究成果的展示，可以是PPT演示，也可以是实物展示、编制简报等，并在汇报课上解答其他学生的疑问.

4 评价建议

活动结束请思考：在整个活动中有哪些收获，有哪些困惑，有哪些建议？请记录在下面的表1中：

表1 活动反馈表

此表一式2份，一份与学生自己的成果作品放在一起，一份上交给教师.

5 活动评价和教学反思

由每位学生填写学习单中的活动反馈表，将自己在活动中的感受和建议整理好.由师生共同利用学习单中的小组活动计分表给各汇报小组的成果打分，根据分值的高低颁发奖品，所有参与的学生都有奖，以资鼓励.在学生们的自评反馈中可以看到学生参加这类活动的兴趣很高，在资料的收集、加工和整理方面的能力得到了锻炼，学生之间的交流与合作能力得到了提高.这次的数学活动课学生们的表现非常出色，只能用“惊叹”来形容笔者的心情，让笔者感到兴奋的不仅仅是斐波那契数列知识本身，更重要的是学生们在探究数学奥秘过程中的精彩表现.

5.1 学生带给教师的惊喜

活动学习课让教师看到了学生身上存在着巨大的潜能，作为教师应该要给他们舞台，让他们在舞台上跳出最美丽的舞蹈.比如，音乐组的学生通过了解斐波那契数列在音乐中的应用，利用斐波那契数列自己创作了一首乐曲，将莫扎特的名曲根据斐波那契数列改编之后，使得原本悲伤的乐曲变得欢乐明快;动、植物组的学生找了许多大自然中的奇妙现象，平时也许我们不曾想到花瓣和果实也存在着那么多的数学知识；艺术组的学生根据钢琴的琴键上存在斐波那契数列，结合组员学习民乐的特点，提出中国古典民族乐器是不是也有斐波那契数列存在的猜想？他们提出问题，大胆假设，小心求证，结果他们找到了许多弦数为斐波那契数的弹拨乐器，同时也发现了一些非斐波那契数的乐器.

学习需要动力，学生们内心存在弄清楚某个问题的强烈需求时就会乐意迎难而上，而不再需要外力催促他们学习.比如，数学奥秘组的学生就运用了高中阶段没有教授的特征方程成功求出了斐波那契数列的通项公式，自己阅读文献来研究斐波那契螺线的奥秘，他们遇到了没有学过的知识，可是他们没有停止、退缩，而是选择了迎难而上，靠自己和团队的力量成功获得了问题的解答.学生们运用现代多媒体技术进行成果汇报，除了使用传统的PPT之外，还利用了moviemaker制作了电影，并在现场揭秘了刘谦表演过的魔术.丰富多彩的汇报形式，让所有听课的教师耳目一新，比起平日里一支粉笔、一块黑板的上课，这样的课显然有意思多了.

5.2 学生活动中存在的问题

学生在该项目学习活动中也暴露出一些问题.一方面，此类数学项目学习活动需要学生较强的自主学习能力、寻找问题的能力以及钻研精神，这些恰恰是学生相对薄弱的，因此在整个学习活动过程中，教师还是要起主导学生学习的作用.另一方面，由于课业压力和时间关系，并不是所有的学生都参与到了活动中来，个别小组只有几位学生在真正实践操作，更多的学生则成了看客.可能学生很少接触这样的学习方式，因此对于学生而言，他们喜欢教师上这样的课，但是如果仅仅是听听这样的趣味数学课，而不用他们动手，他们会更乐意，但这与设计这类课的初衷是相悖的.因此如何真正调动学生自主学习探究的积极性，这是值得教师思考的问题.

学生的成果数学味还不够浓，学生更愿意去了解数学与现实生活的事例，而不愿意去研究斐波那契数列的数学本质和定理.对于枯燥的数学更多的学生还是避而远之.数学课的学习如果缺少了数学味，那么就缺失了核心的内容，因此在开设数学项目活动课时要注意与普通的研究性学习区分开来，要注意活动中的数学元素，要指导学生发现现象背后的数学本质，从而建立起联系.比如，魔术组的学生开始时仅仅只会破解课本上的一个魔术，认为只是由于斜率不同造成的视觉误差.后来他们研究了连续3项斐波那契数的一个运算性质后，发现了魔术背后的真正奥秘，一旦掌握了这个数学奥秘,他们不仅能破解魔术，还能自己创造魔术了.

5.3 教师的收获与困惑

在开展数学项目活动学习的过程中，解决问题所需的知识储备不足、解决问题的方法多样、解决过程的不确定性，让笔者感到力不从心，感受到要成为一名优秀的教师还需要更多的积累和提高.与其说是笔者教育学生，倒不如说和学生一起在活动中学习、提高.教师在教学过程中需要不断调整自己的角色，而不再永远是“正确的指导者、真理的化身”.在项目学习准备阶段，教师应该是设计者，需要创设好的问题环境，激发学生自主解决问题的积极性和创造性.在项目学习实施阶段，教师则是组织者、咨询者或者点评者，帮助学生在主动探索活动中，发现数学知识的现实意义、应用价值等；帮助学生学会用数学的眼光看待现实生活背后蕴含的数学知识；帮助学生动手制作活动成果等.

在这次的数学活动学习课上，师生交换了位置，学生们成了教师，成了自己的先生.笔者相信学生们通过自己的研究和学习，掌握的斐波那契数列知识很牢固，将来很长一段时间都不会忘记今天这一课的内容.这也是这类数学项目活动课的价值所在.数学项目活动学习课对于培养学生对数学的兴趣和热爱是很有意义的，通过学习课学生喜欢上了数学，有了学好数学的内在动力，同时这样的活动学习课也锻炼了学生之间的交流能力和团队协作能力，这些能力也都是平时学习课本知识时无法习得的.因此，要想让学生学好数学，那就让他们热爱数学吧！要想让学生热爱数学，那就让他们在实践中体会数学的魅力和价值吧！让他们感受到数学也是可以在活动学习课中学习和掌握的！

参 考 文 献

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