教学研得教法透 课堂纵横得自由
——高三复习课“数列求和”教学设计

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(溧水高级中学 江苏溧水 211200)

近期，笔者在全市范围内开设了一节公开课，经过3次洗课，把一些繁、难的例题和习题删去了，课堂中讲解的题目看似简单，但是笔者认为虽然它们简约而不简单，学生在教师精心设计的课堂教学的潜移默化中，逐步学会观察、学会探索、学会研究，从而提升学生的综合素养.下面笔者将本节课的教学设计整理如下：

1 教材分析

本节高三复习课为“数列求和”第一课时，是学生在复习了等差数列和等比数列及其前n项和后安排的内容，学生已经有了数列有关知识的基础，因此主要针对一些既非等差又非等比数列的求和方法进行归纳、总结.由于数列求和的方法很多，本节课就着重介绍其中一种方法：裂项求和.

2 教学目标

2.1 知识技能

会运用等差、等比数列的前n项和公式并结合裂项等方法解决一些其他的数列求和问题.

2.2 数学思考

经历用等差、等比数列的前n项和公式解决一些其他数列求和问题的过程，充分认识感受裂项求和方法的运用.

2.3 解决问题

会运用裂项解决相关数列的求和问题.

2.4 情感态度

经历归纳数列求和的过程，培养学生观察、比较与归纳的能力，在相关活动中设计问题、解决问题，并引导学生学会辨析，培养问题意识与质疑精神.

3 教学过程设计

环节1课前热身，自主回顾

(1)等差数列的求和公式为______.

(2)等差数列前n项和公式的推导过程是怎样的？用了什么方法？

(3)等比数列的求和公式为______.

(4)等比数列前n项和公式的推导过程是怎样的？用了什么方法？

(5)你所知道的求和方法有哪些？

本环节要求学生课前完成，必要时翻看课本，课上只要适当点拨即可.

设计意图这几个问题都是帮助学生回忆等差数列和等比数列求和公式的一些基本概念、方法，即使学生遗忘了，也只要课前翻看课本，很快就能解决.问题(5)意在让学生回忆所知道的求和方法，为后面上课作好铺垫，节省不必要的时间.

环节2课前测试，查漏补缺

(1)3+5+7+9+…+99=______;

(2)1+3+5+…+2n+1=______;

(3)1+2+4+…+2n=______;

(4)1+a+a2+…+an=______.

本环节要求学生在课堂前几分钟完成，然后教师讲解，并适当补充，强调易错点.

设计意图该题组的设计是针对等差、等比数列求和公式的简单运用，从学生熟悉的等差、等比数列做起，针对其中几个易错点可设计项数问题以及等比数列求和时对公比的讨论等，让学生在做题的过程中不断发现错误，纠正错误，真正参与到课堂中去.

环节3例题精讲，夯实双基

例1求和：

师：这里运用了什么方法？

生1：裂项求和法.

多媒体课件突出显示：逆序求和法、错项消去法、裂项求和法.

师：看例1的变式1：

变式1求和：

生2：也是用裂项求和，根据

(生2在叙述的同时展示他的做法.)

生3(迫不及待):错了！

(生2笑了，虽有些羞赧，但不感到尴尬，长期训练的效果.)

师：机械套用了裂项求和法，岂能不错!说说怎么错的？

师：那怎么才能避免这种错误呢？

生4：最好的方法就是写出来后合并检验一下.

师：裂项对了，后面呢？

生5：最后剩下的项也不对，不止2项！

师：剩下的项数又怎么判断？

生6：我是用不完全归纳法，多写几项，看看剩下多少，然后不完全归纳出最后剩下多少项.

生7：我觉得可以把正的项和负的项分开写，写成：

它们的分母都是连续的整数，剩下的项数一目了然！

设计意图在裂项求和中，“系数的配平”和“确定最后剩余的项数”是难点，也是重点.这里采用让学生示错，自主纠错，讨论得到正确的结论，让更多的学生参与教学是新课标的一个主要目标.只有当学生自己提出问题，解决问题后，所涉及的知识才能内化为学生本人所有.

师：很好！用裂项求和时要注意检验.我们再看看下面的问题怎么解决：

设计意图裂项求和的概念在头脑中刚刚形成，趁热打铁，需要变形后才能用裂项求和.

有了前面题目的铺垫，学生就不会随便下笔了，思考了几分钟后，有学生举手：

生8：先将通项公式变形再裂项：

从而

师：有些数列的通项公式需要进行变形后才能用裂项求和的方法，你能总结下裂项求和的通项公式有什么特征吗？

学生归纳总结可以裂项求和的数列的特征为：首先是个分式，另外分母上2个相乘的式子差是常数.同时学生也归纳出裂项的通项公式：

你能写出一些能用裂项方法进行求和的数列吗？

设计意图通过前面几次变式的讨论，让学生自己总结出可以裂项的通项公式的特点，培养学生善于观察和总结归纳的能力，而且最后让学生举出相应的可以裂项的通项公式，培养他们对所总结知识的运用能力，培养学生思维的灵活性.

环节4链接高考，凸显主题

师：下面这2道题都是由高考题改编而来，大家想想怎么做？

例2设数列{an}为等差数列，对任意n∈N*，an≠0,公差d≠0，求证：

例3求和:tan1·tan2+tan2·tan3+tan3·tan4+…+tann·tan(n+1).

师:观察式子的特点,联想我们学过的公式及变形,用哪个公式合适呢?

生10:两角差的正切公式.因为两角和的正切公式变形之后只有加号没有减号,不满足相消条件.只有两角差的正切公式

经过变形得到

出现减号则前后2项才能相消.

设计意图让学生体会裂项求和在高考中的呈现形式，看到它的价值所在，才能激发学生勇攀高峰、学习新知的欲望.

环节5巩固练习，新知升级

(一名学生板书，其他学生纠正，评判对错及过程方法.)

设计意图设置巩固练习，意在检验学生对这节课的掌握程度，更让学生体会要求和，必须先求通项公式的重要性；同时让没有完全掌握好的学生暴露自己的偏颇认识，然后教师进一步帮助认识模糊的学生澄清认识.以具体的问题，强化这类通项公式的特点，便于学生理解其结构的内涵.

环节6课堂小结，结语点金

你知道的数列求和方法有哪些？这节课你有哪些收获？

设计意图通过最后几分钟的总结交流，让学生重温重点、难点、知识的梳理、方法的提炼，保证一节课清晰的脉络，教师适时点睛、补充，帮学生将所学知识纳入自己的认知结构中去，只有这样，课堂效果才能持久.

4 评价与反思

本课例教学以教师引导下的自主探究活动为载体，力争从“求简”入手，以最贴近学生思维“最近发展区”的问题为支点，引导学生展开对数列求和方法——裂项求和的研究.在变式中，注重对学习方法的指导、数学思想的渗透、数学思维的深化、思维能力的提升.

4.1 选择适宜的“问题”来驱动学习

问题是探究性教学的起点，问题的选择或设计要难易得当，要让学生处于“跳一跳，摘到桃”的状态;问题还应具有发散性，即解决问题方法的多样性、条件或结论的可变性，这一问题的解决能引发新的问题产生，形成“问题链”，有了问题学生就有了思考与讨论的方向，从而能持续地驱动学生进行探究，激发思维，深化思考.

数列内容是高中数学的难点，而数列求和中的裂项求和是教学的重点与难点.对于第一轮复习的高三学生来说，不能过难，教学问题的选择要简单，教学的重心就能落在让学生建构起对数列求和的方法上.而本课例中的课前热身、课前测试都是简单题，用于唤醒学生对这部分内容的回忆.例1正好贴近学生的“最近发展区”，起点低，由于问题难度小，全体学生都可以展开自主探究，能够经历求和过程的体验.再进一步通过变式的运用，从中提炼出数列求和的一般形式，形成方法体系，从对问题的变式中，形成“问题链”，而每个问题的提出，都会引起学生认知的冲突，引发探究，驱动思维发展.

4.2 重视对过程的反馈与方法的归纳

在高三复习教学中，问题解决后教师要引导学生进行反馈分析，对解决方法进行评价，启发学生自我调控，引导学生发现思路，启迪心智，发散思维.在方法归纳中，先散后敛，提练通性通法，聚合思路，提升思维.通过反馈归纳让学生能够理清解题思路，生成解题方法，反馈解题过程，优化解题方法，弄清解题通法，发现解题巧法，形成解题体系，完善解题网络.而教师适时地引导是不可缺少的，只有经过教师的引导，学生才能同化新解法，建构新体系.方法的归纳是对解题的升华,在本课例中，让学生自主探究，充分发散，最后总结出裂项求和的一般形式，加深了对数学本质的理解.

4.3 要着力发展学生的数学思维

复习教学的核心是通过优化学生的问题解决过程，促进学生思维的发展.因此在复习的每个环节，无论是问题解决策略的形成阶段——思路的产生和方法的生成，还是在类比迁移阶段——变式拓展和方法迁移，教师都不能越俎代庖,要留足时间让学生独立思考、自主探究、互相讨论和反馈归纳.教师要在适时、恰当、有度地引导与追问中引发学生内心的冲突，打破原有认知结构的平衡状态，启迪心智、驱动思维，使学生进入问题探究之中.学生在持续不断的思考中学会用自己的思维方式构建解题策略，不断纠正错误，使思维不断延伸和优化.在本课例中，学生在例1的基础上容易产生思维定势，在变式1中就出现错误，引发认知冲突，如何解决？错在哪里？激起思维，引导学生开始观察式子结构、研究已知信息，等等；通过变式、问题的不断深入，思维持续被驱动，也不断在深化.未来的高考试题是猜不着的，但只要积攒了丰厚的“势能”，那么在考场上就能充分地释放出“动能”，从容应对各种试题.