与“中点”相关的典型赛题类型及其常规解答策略

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(镇海蛟川书院 浙江宁波 315201)

在各级各类的数学竞赛中，与“中点”相关的赛题比较常见，笔者鉴于相关赛题的典型性、代表性，故尝试结合初中数学竞赛试题归纳其中的典型赛题类型及其常规解答策略．由于“中点”问题广泛存在于三角形、四边形和圆中，同时与中位线相关的问题比较突出，故分与三角形相关、与中位线相关、与四边形相关、与圆相关这4类加以分析，具体如下：

1 与三角形相关

1．1 与三角形的中线相关

例1如图1，P是△ABC内的一点，直线AC，BP相交于点Q，直线AB，CP相交于点R，已知AR=RB=CP，CQ=PQ，求∠BRC．

(2003年日本奥林匹克数学竞赛试题)

证明延长CR到D，使DR=CR，得△BRD≌△ARC，则

BD=AC，∠ACE=∠BDP.

由CQ=PQ，得

∠QCP=∠CPQ，

又∠CPQ=∠BPR，从而

∠ACE=∠BDP=∠BPR，

于是

BP=BD=AC.

取CR上一点E，使RE=CP，得RP=CE，则△ACE≌△BPR，从而

AE=BR=AR=RE，

于是△ARE为等边三角形，由∠ARE=60°，得∠BRC=120°．

图1 图2

小结本例解答中，AC=BP可根据梅内劳斯定理考虑“直线CR截△ABQ”得到．不过，考虑到CR的中线属性，“倍长中线”添加辅助线也很自然．

1．2 与三角形的重心相关

(2002年全国初中数学竞赛试题)

小结当题设中有多个中点带来的三角形的多条中线，通常会关注是否有三角形的“重心”，利用重心的相关性质简约求解．

1．3 与全等三角形相关

例3如图3，已知AB=AC，∠BAC=∠CDE=90°，DC=DE，F是BE的中点，求证：FA=FD，且FA⊥FD．

(2013年四川省初中数学竞赛初二决赛试题)

图3

证明联结AF并延长至点G，使FG=AF，联结DG,EG，不难得到△AFB≌△GFE，从而

AB=GE，∠B=∠FEG.

由∠B+∠BAC+∠CAD+∠CDA+∠CDE+∠FED=360°及∠BAC=∠CDE=90°，得

∠B+∠CAD+∠CDA+∠FED=180°，

又∠C+∠CAD+∠CDA=180°，则

∠C=∠B+∠FED=∠FEG+∠FED=∠GED，

从而

△ACD≌△GED，

于是

AD=GD，∠ADC=∠GDE，

而

AF=GF，

故

AF⊥DF.

又∠GDE+∠GDC=∠CDE=90°，则

∠ADC+∠GDC=∠ADG=90°，

故

DF=AF．

小结利用中点构造全等三角形完成中心对称，借助180°的旋转变换添加辅助线，进而解决问题，此种方法是解决与中点相关问题的常用方法．实际上例1中“倍长中线”的方法是此种类型的特殊情形．

1．4 与等……

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