“对应”在数学竞赛解题中的应用

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(嘉兴市第一中学 浙江嘉兴 314050)

“对应”，又称“对应关系”，反映的是2个集合元素之间的关系，通过“对应”可以将各种类别、各种范围、各种层次的对象联系起来，呈现出它们之间的若干属性，通过这些属性的研究使得各种对象之间互相结合、互相转化．

“对应”既是指2个集合的关系，更是一种重要的思想方法．从思想方法的角度来说，“对应”指的是人们在解决某个范畴的数学问题时，通过寻找恰当的对应关系，把原问题转化为另一个范畴的数学问题，再在这个范畴中求解，从而达到解决原问题的思维方法．

在数学竞赛中，应用“对应”有利于提高学生观察问题和分析问题的能力，在解题中也能起到四两拨千斤的效果．下面从几个定理出发，探讨“对应”在数学竞赛中的一些应用．

定理1定义f是从集合X到Y的一个映射，则

(1)如果f为单射，则card(X)≤card(Y)；

(2)如果f为满射，则card(X)≥card(Y)；

(3)如果f为一一映射，则card(X)=card(Y)；

(4)若X和Y是2个有限集，f为m倍映射，则card(X)=mcard(Y)．

定理3在直角坐标系中，设A(a,b)，B(c,d)为2个格点，从A到B的连线由最小格点正方形的对角线首尾相联结而成，而且任何平行于y轴的直线与这条连线最多只有一个交点，把这条连线叫做联结A,B的折线，点A称为这条折线的起点，点B称为终点．

1 “对应”：集合问题的“桥梁”

“对应”反映的是2个集合元素之间的关系，通过“对应”可以实现任何2个集合的沟通与联系，这要求我们在解题时大胆构造，造好“桥梁”．

例1已知集合S={1,2,3,…,2 000}，若S的41元子集中的所有元素之和能被5整除，则该子集称为S的好子集，求S的好……