初中数学竞赛训练题

一.填空题

1.完全数是一个数的所有因数之和(除该数本身外)等于该数本身的整数，它显示了整数的完满性.第1个完全数是6，它可以被1，2,3整除并且是1,2,3之和,那么第2个完全数是______.

图1

2.2个整数相加时，所得的和是2个数字相同的两位数;它们相乘时,所得的积是3个数字相同的三位数，则这2个整数是______.

4.将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲地、乙地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有______种.

图2

5.若从1，2，3，…，8这8个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有______种.

6.如图1,在棱长为1的正方体中,点E,F分别为棱BB1,CC1的中点,那么把线段AE和D1F平移后,它们相交所得锐角的正弦值是______.

图3

9.已知不等式|a-2x|>x-1对任意的0≤x≤2恒成立,则实数a的取值范围是______.

10.已知△ABC是等腰三角形，边BC上的高恰好等于BC的一半,则∠BAC的度数是______.

二.解答题

图4 图5

11.如图4,请把一个6×10的长方形纸片沿着其各格点分成4个相似但不完全全等的长方形,要求作出3种不同分法的示意图.

12.在平面上有且只有4个点,这4个点有一个独特的性质:每2个点之间的距离有且只有2种长度.例如,在如图5所示的正方形ABCD中,AB=BC=CD=DA，AC=BD，但AB≠AC.请作出具有这种性质的所有图形,并标明相等的线段.

13.给定100个正整数n0,n1,n2,…,n100,已知n1>n0,n2=3n1-2n0,n3=3n2-2n1,…,n100=3n99-2n98.证明:n100>299.

14.已知方程ax2+bx+c=0(a,b,c为正整数)有2个不相等且小于1的正根,试求a的最小值.

15.2条抛物线的方程为y=x2+ax+b和y=x2+cx+d(a,b,c,d都是整数，且可以相等)，每一个数的取值都是通过规则的六面体骰子独立地投掷出来的，则这2条抛物线至少有1个公共点的概率是多少？