含参数不等式恒成立的问题

会求各种背景下含参数不等式恒成立的问题.

不等式恒成立问题可以与函数、导数、数列、三角函数、解析几何等知识整合在一起，又可以涉及不等式的证明和参数取值范值问题，渗透着化归、数形结合等重要数学思想，是历年高考命题的热点. 通过含参数不等式恒成立问题的求解，培养利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想进行解题的意识.

1. 不等式恒成立的基本思路

从问题的类型入手，构造恰当函数，将问题转化为求函数在其指定范围内的最值问题，主要类型如下：

（1）不等式在f（x）<（≤）k，x∈I时恒成立？圳f（x）max<（≤）k；

（2）不等式在f（x）<（≤）k，x∈I时有解？圳f（x）min<（≤）k；

（3）不等式在f（x）>（≥）k，x∈I时恒成立？圳f（x）min>（≥）k；

（4）不等式在f（x）>（≥）k，x∈I时有解？圳f（x）max>（≥）k.

不等式恒成立与有解是有明显区别的，以上充要条件应细心甄别差异，恰当使用等价转化，切不可混淆. 对于含有等号的恒成立问题可以同上进行相应的转化.

2. 不等式恒成立与有解的基本策略

（1）判别式法：对于定义在R上的二次函数的恒成立问题仅用一元二次方程根的判别式即可解决.

（2）分离参数法：若能将恒成立不等式中所涉及的两个变量分离，使它们分别在不等式的一边，则可由一个变量的取值范围推出另一个变量所适合的不等式，进而求得其取值范围.

（3）单调性法：对于在所研究的区间上具有单调性的函数，通过用区间端点处的函数值列不等式求解.如，已知函数f（x）=（3a-1）x-6-a，x∈（0，1]，若f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围.

（4）最值法：很多不等式恒成立与有解问题可转化为构造函数，研究新函数的最大（小）值所适合条件的问题.

（5）图象特征法：结合函数的图象，利用函数图象的上、下位置关系来确定参数的取值范围.如：不等式x2-logax<0，在x∈0， 恒成立，求a的取值范围. 设f（x）=x2，g（x）=logax然后在同一坐标系下准确作出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解.endprint

会求各种背景下含参数不等式恒成立的问题.

不等式恒成立问题可以与函数、导数、数列、三角函数、解析几何等知识整合在一起，又可以涉及不等式的证明和参数取值范值问题，渗透着化归、数形结合等重要数学思想，是历年高考命题的热点. 通过含参数不等式恒成立问题的求解，培养利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想进行解题的意识.

1. 不等式恒成立的基本思路

从问题的类型入手，构造恰当函数，将问题转化为求函数在其指定范围内的最值问题，主要类型如下：

（1）不等式在f（x）<（≤）k，x∈I时恒成立？圳f（x）max<（≤）k；

（2）不等式在f（x）<（≤）k，x∈I时有解？圳f（x）min<（≤）k；

（3）不等式在f（x）>（≥）k，x∈I时恒成立？圳f（x）min>（≥）k；

（4）不等式在f（x）>（≥）k，x∈I时有解？圳f（x）max>（≥）k.

不等式恒成立与有解是有明显区别的，以上充要条件应细心甄别差异，恰当使用等价转化，切不可混淆. 对于含有等号的恒成立问题可以同上进行相应的转化.

2. 不等式恒成立与有解的基本策略

（1）判别式法：对于定义在R上的二次函数的恒成立问题仅用一元二次方程根的判别式即可解决.

（2）分离参数法：若能将恒成立不等式中所涉及的两个变量分离，使它们分别在不等式的一边，则可由一个变量的取值范围推出另一个变量所适合的不等式，进而求得其取值范围.

（3）单调性法：对于在所研究的区间上具有单调性的函数，通过用区间端点处的函数值列不等式求解.如，已知函数f（x）=（3a-1）x-6-a，x∈（0，1]，若f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围.

（4）最值法：很多不等式恒成立与有解问题可转化为构造函数，研究新函数的最大（小）值所适合条件的问题.

（5）图象特征法：结合函数的图象，利用函数图象的上、下位置关系来确定参数的取值范围.如：不等式x2-logax<0，在x∈0， 恒成立，求a的取值范围. 设f（x）=x2，g（x）=logax然后在同一坐标系下准确作出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解.endprint

会求各种背景下含参数不等式恒成立的问题.

不等式恒成立问题可以与函数、导数、数列、三角函数、解析几何等知识整合在一起，又可以涉及不等式的证明和参数取值范值问题，渗透着化归、数形结合等重要数学思想，是历年高考命题的热点. 通过含参数不等式恒成立问题的求解，培养利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想进行解题的意识.

1. 不等式恒成立的基本思路

从问题的类型入手，构造恰当函数，将问题转化为求函数在其指定范围内的最值问题，主要类型如下：

（1）不等式在f（x）<（≤）k，x∈I时恒成立？圳f（x）max<（≤）k；

（2）不等式在f（x）<（≤）k，x∈I时有解？圳f（x）min<（≤）k；

（3）不等式在f（x）>（≥）k，x∈I时恒成立？圳f（x）min>（≥）k；

（4）不等式在f（x）>（≥）k，x∈I时有解？圳f（x）max>（≥）k.

不等式恒成立与有解是有明显区别的，以上充要条件应细心甄别差异，恰当使用等价转化，切不可混淆. 对于含有等号的恒成立问题可以同上进行相应的转化.

2. 不等式恒成立与有解的基本策略

（1）判别式法：对于定义在R上的二次函数的恒成立问题仅用一元二次方程根的判别式即可解决.

（2）分离参数法：若能将恒成立不等式中所涉及的两个变量分离，使它们分别在不等式的一边，则可由一个变量的取值范围推出另一个变量所适合的不等式，进而求得其取值范围.

（3）单调性法：对于在所研究的区间上具有单调性的函数，通过用区间端点处的函数值列不等式求解.如，已知函数f（x）=（3a-1）x-6-a，x∈（0，1]，若f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围.

（4）最值法：很多不等式恒成立与有解问题可转化为构造函数，研究新函数的最大（小）值所适合条件的问题.

（5）图象特征法：结合函数的图象，利用函数图象的上、下位置关系来确定参数的取值范围.如：不等式x2-logax<0，在x∈0， 恒成立，求a的取值范围. 设f（x）=x2，g（x）=logax然后在同一坐标系下准确作出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解.endprint