具有随机红利支付的复合马尔可夫二项模型的期望贴现惩罚函数

张梦瑶

（辽宁师范大学数学学院，辽宁 大连 116029）

0 引言

在保险精算文献中，复合马尔可夫二项模型是由Cossette等[1]最早提出的，他们在索赔增量中通过马尔可夫-伯努利序列引入一种相依结构，从而推广了经典的复合二项风险模型。随后，众多的研究者对该模型作了进一步的研究。Cossette等[2]指出条件最终破产概率是个超几何分布，由此可以得到破产概率的上界估计和渐近表达式。Yuen和Guo[3]则通过考查普通更新和延迟更新两个不同的更新过程得到了条件期望贴现惩罚函数的递归表达式。方世祖等[4]使用不同于文献[3]的方法，得到了复合马尔可夫二项模型中有条件和无条件Gerber-Shiu期望贴现惩罚函数的瑕疵更新方程以及渐近表达式。对于复合二项风险模型另外一种推广形式是在模型中引入红利限值，这方面的研究由Tan和Yang[5]最早引入，他们得到破产概率、破产前盈余的概率生成函数等相关破产量的递归方程以及渐近表达式。

受上述文献启发，本文研究具有随机红利支付的复合马尔可夫二项模型，并得到了条件Gerber-Shiu期望贴现惩罚函数所满足的瑕疵更新方程。

1 模型结构

我们首先给出复合马尔科夫二项风险模型的基本结构。令{ξt,t∈N+}是一个马尔科夫链,其状态空间为{0,1}，转移矩阵为

其中 P(ξk+1=j｜ξk=i)=pij，假设初始概率为 P(ξ0=1)=q=1-P(ξ0=0)，其中q∈(0,1)而 0≤π＜1为相依参数，过程{ξt,t∈N+}在文献中有时被称为马尔可夫-伯努利序列。

假设索赔额X1,X2,X3,…是独立同分布的正的整值的随机变量序列，保险公司的资本盈余过程定义为

其中U(0)=u是初始剩余。这就是Cossette所提出的复合马尔可夫二项模型。

在保险实践中，为了吸引投资保险公司通常设计出一些具有红利支付的产品。我们考虑文献[5]中的一种红利策略，即设总索赔额St=，其中 t≥1 并且 S0=0，总的红利额

其中t≥1和Z0=0，ηk(k≥1)是独立同分布的随机决策函数。具体地,假定 Pr(ηk=1)=q0，Pr(ηk=0)=p0，其中 0≤q0＜1 以及 p0+q0=1。 此时保险公司的盈余过程为

其中u为初始剩余。由(1)我们可以得到

进一步，假设索赔量的概率函数为p(k)=Pr(X=k)，k=1,2,3,…；分布函数为，尾分布为

为了保证保险公司具有正的安全负载，我们定义θ为安全负载系数满足

为条件期望贴现惩罚函数,这里I(A)表示事件A的示性函数,而为一个有界函数。

2 瑕疵更新方程

本节研究 m(u｜0)和 m(u｜1)满足的瑕疵更新方程。

定理1 条件罚金函数m(u｜0)满足的更新方程为

证明 首先处理m(u｜0)，考虑1时刻可能发生的情况由全概率公式得

由于p(0)=0，则上式等价于

类似地处理 m(u｜1)，我们可得

等价地

对（4）和（5）两边同时对 zu从 0到 ∞ 求和，得

对（6）和（7）整理得，

那么由（8）和（9），我们可得

令

因此当 z=1 时，（10）式可得

由此，把（12）代入（10）式可变为

那么（11）减去（13）得

上式等价于

（15）式可变为

由（12）式可约去上式等式两边的常数项，则比较（16）两边关于zu的系数得，

最后证明更新方程是瑕疵的。事实上

定理证毕。

定理2 条件罚金函数m(u｜1)满足下面的更新方程

证明 由（8）和（9）式得

当 z=1 时（18）式仍然可得（12）。 则（18）式可变为

（11）减去（19）式得，

上式变形为

上式可等价于

上式反演为

其中

由（17）式，可知所得更新方程为瑕疵的。定理证毕。

［1］COSSETE H,LANDRIAULT D and MARCEAU E,Ruin probabilities in the compound Markovbinomial model[J].Scandinavian Actuarial Journal,2003(4)：301-323.

［2］COSSETE H,LANDRIAULT D.and MARCEAU E,Exact expressions and upper bound for ruin probabilities in the compound Markov binomial model[J].Insurance Mathematics and Economics,2004(34)：449-446.

［3］YUEN K C,and GUO J Y,Ruin probabilities for time-correlated claims in the compound and Markov binomial model[J].Scandinavian Actuarial Journal,2006(3)：129-140.

［4］FANG S Z,ZHANG C M,SUN X,ZHAO P C,The Gerber-Shiu discounted penalty function in the Compound Markov binomial model[J].Chinese Journal of Applied Probability,2011,5(27)：461-471.

［5］TAN JY.and YANG X Q,The compound model with randomized decisions on paying dividends[J].Insurance Mathematics and Economics,2006(39)：1-18.