质点与球体间的万有引力

陈小红 罗琬华

（西南大学物理科学与技术学院 重庆 400715）

在万有引力的学习中，经常会遇到类似如下的习题.

题目：设想把质量为m的小物体，放到地球的中心，地球的质量为M，半径为R，则物体与地球间的万有引力是

我们可以替他们推断，当两物体间的距离r趋近于零时，万有引力F将趋近于无穷大，因此答案为选项B.

但是事实真的是这样的吗？

一般的，我们假设地球是一个质量均匀的球体，把一个质量为m的小球（小球看作质点）放在地球内部任意位置（距离地心r0处），地球质量为M，地球半径为R，那么地球与该小球间的万有引力是多少呢？

因为小球处于地球内部，所以不能够直接利用万有引力公式得出

因此，将地球从小球所在位置进行分割，看作一个半径为r0的球体和剩余部分形成的球壳，如图1所示.分别求解这两部分对小球的万有引力，然后再进行矢量求和.

图1

1 球体对小球的万有引力

球体仍然可以看作是一个质量均匀的球体，所以其质量可以表示为M0，则

由此可见，球体对小球之间的万有引力与小球的质量m以及小球到地心的距离r0成正比的.

2 球壳对小球的万有引力

如图2所示，小球在球壳内部任意位置，过小球作一直线，小球将该直线分成两段r1和r2.将直线偏转一个非常小的θ角度，再沿顺时针旋转一周，则会形成两个顶角为θ的对顶圆锥.在球壳上对应的会产生两个圆面，可近似看成平面圆，面积分别为S1和S2.圆的半径分别为x1，x2.

图2

则可以求出S1和S2的质量m1和m2，有

可见F1和F2大小相等，因为S1和S2来自对顶圆锥，所以F1和F2的方向相反.因此F1和F2的合力为零.以此类推，整个球面可以看作是无数对这样的圆面.因此可以得出这样的结论：质量分布均匀的球壳对它内部的任意一个质点的万有引力的合力为零.

3 地球对其内部可看成质点的小球的万有引力

因为外部球壳与小球间的万有引力为零，因此整个地球对小球的万有引力可以表示为

综上讨论，我们可以得到两点结论：

第一，如果将地球看作是一个均匀的球体，那么，地球和内部任意质点之间的万有引力与该质点距地球中心的距离成正比.由此可以推断，小球在靠近地心的过程中受到的万有引力越来越小.

第二，一个质量均匀的球壳，其内部任意位置质点所受万有引力为零.

回到文章开头的例题中，小球位于地球中心，则r0＝0，F万＝0.正确答案应该是C.

1 漆安慎，杜婵英.力学.北京：高等教育出版社，2005.195

2 人民教育出版社课程教材研究所.高中物理·必修2.北京：人民教育出版社，2011.36