数形结合话正交

唐骏，刘虹

摘要：正交信号处理应用于科学和工程的很多领域，而且用正交信号来描述现代数字通信系统中的处理和实现过程也十分必要。本文主要讨论基于复数概念的正交信号，借助复平面，采用数形相结合的手段解释复信号和实信号之间的关系，并在时频域中用三维图形对正交信号的物理意义加以阐述。

关键词：复信号；复指数函数；正交；信号处理

中图分类号：G642.4？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）15-0117-03

正交信号是一类复信号，用于数字信号处理的很多领域，如数字通信系统、雷达系统、无线电测向、天线波束形成、信号边带调制等等，这些应用都属于正交处理的基本范畴[1]。一个正交信号是二维的数据，其瞬时值可由包含两部分数据的复数来表示——我们称之为实部和虚部，在通信工程中分别用同相分量和正交分量表示。

复信号或复数是一般数的一种延伸，但复数（尤其是虚数）有时似乎让人难以想象和感到不真实。其实，这种不真实的感觉源自对它们不熟悉和新奇，而并不是它们真的虚幻。当初数学家将这些数称为“虚数”似乎犯了一个很大的错误，因为这个术语本身带有偏见，并导致在相当长的历史时期内不被接受。后来在欧拉、高斯、柯西的著作中完全确立了复数的重要地位。高斯也是第一位系统而有条理地描述复数，并将复数解释为复平面上的点的人。正是由于他引入了“复数”这一术语，才为它们的应用铺平了道路[2]。

一、复数（信号）的表示形式

复数有以下几种常见的表示形式：

（a）直角坐标形式：c=a+jb

（b）三角函数形式：c=M[cos（φ）+jsin（φ）]

（c）极坐标形式：c=Mejφ

（d）幅度—相角形式：c=M∠φ

如果令表示形式（b）和（c）相等，即Mejφ=M[cos（φ）+jsin（φ）]，可得到著名的欧拉等式：ejφ=cos（φ）+jsin（φ） （1）

（1）式看起来有点怪诞——自然对数的底，即的虚数次幂表示一个复数？欧拉利用级数理论给出了漂亮的证明。

ez=1+z+■+■+■+L （2）

ejφ=1+jφ+■+■+■+L

=1+jφ-■-j■+■+L

=cosφ+jsinφ （3）

如果将（2）式中的用z-jφ代替，就可以得到一个稍微不同但是很有用的欧拉公式的另外一种表达式：e-jφ=cos（φ）-jsin（φ） （4）

方程（3）和（4）的极坐标表达式非常有用，因为它简化了数学微分和分析，把三角方程转换为简单的指数代数形式，而且复数的数学运算完全遵循实数的运算法则；它使信号的相加仅仅是复数的加法（向量相加）；有最简洁的记法；用来说明数字通信系统是如何实现与描述很直观。所以，我们将用方程（3）和（4）来说明为什么正交信号会用于数字通信系统，并说明是怎么样用的。

二、实信号的向量表示

现在，我们先关注一类复数，它是时间的函数，其幅度为1，而相位随时间的增加而增加。这个数可写为e■，如图1（a）所示。随着时间t的增加，复数的相位也在增加，该数围绕复平面原点作逆时针旋转。图1（a）表示该数某一时刻的值，用一个黑色的点来表示。假设f0=2Hz，那么该点将沿着该圆每秒旋转2周。我们也可以考虑另外一个复数，e■，图中用白色的点表示，它沿着顺时针方向旋转，因为随着时间的增加，其相位是负向地增加。

现在，我们称这两个复数表达式，e■和e■，为正交信号。它们都有实部和虚部，而且都是时间t的函数。e■和e■在文献中也常被称作复指数函数。

我们也可以把e■和e■，看作是沿相反方向变化的两个向量，如图1（b）所示。利用向量的概念，会很容易帮助我们实现在复平面中表示一个实的正弦信号。

为了更好地理解这些向量的性质，图2（a）展示了e■向量随时间增长的三维图形。我们增加了时间轴，其方向经页面朝外。图2（b）给出了该向量末端一种连续形式的运动轨迹。复数e■，正如所期望的，其末端以时间轴为中心，并呈螺旋线前进。在图2（b）中，e■的实部和虚部投影分别为正弦和余弦函数。

回到图1（b），这两个沿着相反方向旋转的向量，它们的和是什么呢？易知，这两个向量的实部将同向相加，而虚部将相互抵消。这就意味着向量e■和e■的和将是一个纯实数。当今数字通信系统的实现就基于这条性质。

观察这些向量，便不难理解为什么一个余弦函数可由两个复指数函数的和来表示：

cos（2πf0t）=■=■+■ （5）

方程（5）是一个众所周知的重要表达式，也被称为欧拉等式之一。我们可以从方程（3）和（4）推出该等式，对于方程（3）和（4）中的jsin（φ），令其相等，然后从等式中即可求解出cos（φ）。同理，我们可以通过同样的代数运算，得到一个实的正弦函数也可以表示为两个复指数函数之和的形式：

sin（2πf0t）=■=■-■ （6）

我们现在可以很容易地实现复指数信号和实正弦信号之间的相互转换。由于复信号的分析及计算较实信号有优势，因此，那些能够通过信道传输、数字化及存储的实信号常常通过复数的概念来描述[3]。的确，一个复数的每个组成部分都是实数，但是，我们用特殊的方式——正交——来处理它们。

三、正交信号的频域表示

现在我们已经熟知正交信号在时域的很多性质，接下来我们将看看它们在频域中的描述。本文将让大家很容易理解这些性质，因为我们将从三维全方位来展示频域的相关特性。这样，正交信号的相位关系将完全得以展现。e■和e■的相位分别为2πf0t和-2πf0t，对时间t求导即得正频率2πf0和负频率-2πf0。我们将其中一个复指数表示为一个窄带脉冲，其频率所在位置由指数确定。此外，我们将在实轴和虚轴上给出这些复指数函数的相位关系。为了展现它们相位的关系，复频域的表示方式是必需的。综上，如图3所示。endprint

从图3右侧可以看出实正弦波和余弦波是如何在复频域中表示的。图3右侧中的粗箭头不是旋转的向量，而是频域中的脉冲符号，用于表示一个复指数函数e■的一根谱线。谱脉冲所指方向仅仅表明谱分量的相对相位。这些谱线的幅度（强度）为1/2。

利用复频域，可以直观地理解如何利用两个正交信号构成一个复指数信号[4]。其过程如图4所示。首先给出一个实的正弦波，然后让它乘以j，最后再加上一个同频率的实余弦函数。其结果就是复指数函数e■。如果令复信号

e■=xc（t）=i（t）+jq（t），其中i（t）称为同相分量，而q（t）称为正交分量。三维的频域表示是我们用来理解通信系统中正交信号的产生、调制和解调的重要工具[5]。

四、眼见未必为“实”

为了充分理解上述讨论的正交信号xc（t）=i（t）+jq（t）的物理含义，我们要认识到，一个连续的正交信号不仅仅是一个数学抽象。我们可以在实验室中产生信号xc（t），也可以在实际中将其进行传输。我们所需要的仅仅是两个具有相同频率f0的正弦信号发生器。然后我们连接电缆到发生器的输出端，并将标记为'i（t）'的余弦信号和'q（t）'的正弦信号传输到接收端。在接收端，将连续信号i（t）和q（t）分别连接示波器的水平输入与垂直输入端，如图5所示，我们将在示波器上看到一个亮点逆时针地作圆周运动。如果将电缆被互换，我们看到的将是顺时针方向的圆周运动。

这个示波器的例子帮助我们解答了一个重要的问题——当我们处理正交信号时，是如何在硬件上实现j算子呢？答案就是，j算子的实现主要依赖于我们怎么处理两个信号之间的关系。我们将两个信号设定为正交的，即同相分量i（t）表示一个东—西向的值，而正交分量q（t）则表示为垂直的南—北向的值。所以，在上面例子中，j算子的实现仅仅是看发生器的输出端是怎样接到示波器的。同相信号i（t）控制的是水平偏转，而正交相信号q（t）则控制的是垂直偏转。其结果是一个二维的正交信号通过示波器显示的瞬时位置表示。

五、结语

在复信号、正交信号理论与处理方法中，诸如j算子、复数、虚部、实部、正交等术语和概念，往往令信号处理的初学者望而生畏。本文采用数形结合的方法，借助复平面，揭示了复指数信号e■和正、余弦信号sin（ωt）、cos（ωt）之间的关系及相互表示方法。通过时域和频域三维图形的描述，分析了正交信号和实信号之间的关系，有助于我们理解正交信号的产生和传输等概念及处理方法。

参考文献：

[1]郭永明，水鹏朗.离散正交信号的离散时频分析[J].西北大学学报：自然科学版，2011，41（1）：48-52.

[2]B.P.LATHI.线性系统与信号[M].西安：西安交通大学出版社，2006.

[3]Lyons R.Quadrature signals：Complex，but not complicated[J].URL：http：//www.dspguru. com/info/tutor/quadsig.htm，2000.

[4]杨平，耿富录.正交采样的理论和技术实现[J].火控雷达技术，1992，（1）：25-30.

[5]张海滨.正交频分复用的基本原理与关键技术[M].国防工业出版社，2006.

基金项目：福建省教育厅A类科技项目——基于多特征的2D转3D视频算法研究；厦门理工学院教改项目——基于CDIO模式的信号处理课程群建设。

作者简介：唐骏（1977-），男，湖南永州人，研究生，讲师，研究方向：多媒体信号处理；刘虹（1978-），女，福建建瓯人，研究生，讲师，研究方向：嵌入式系统设计。endprint

从图3右侧可以看出实正弦波和余弦波是如何在复频域中表示的。图3右侧中的粗箭头不是旋转的向量，而是频域中的脉冲符号，用于表示一个复指数函数e■的一根谱线。谱脉冲所指方向仅仅表明谱分量的相对相位。这些谱线的幅度（强度）为1/2。

利用复频域，可以直观地理解如何利用两个正交信号构成一个复指数信号[4]。其过程如图4所示。首先给出一个实的正弦波，然后让它乘以j，最后再加上一个同频率的实余弦函数。其结果就是复指数函数e■。如果令复信号

e■=xc（t）=i（t）+jq（t），其中i（t）称为同相分量，而q（t）称为正交分量。三维的频域表示是我们用来理解通信系统中正交信号的产生、调制和解调的重要工具[5]。

四、眼见未必为“实”

为了充分理解上述讨论的正交信号xc（t）=i（t）+jq（t）的物理含义，我们要认识到，一个连续的正交信号不仅仅是一个数学抽象。我们可以在实验室中产生信号xc（t），也可以在实际中将其进行传输。我们所需要的仅仅是两个具有相同频率f0的正弦信号发生器。然后我们连接电缆到发生器的输出端，并将标记为'i（t）'的余弦信号和'q（t）'的正弦信号传输到接收端。在接收端，将连续信号i（t）和q（t）分别连接示波器的水平输入与垂直输入端，如图5所示，我们将在示波器上看到一个亮点逆时针地作圆周运动。如果将电缆被互换，我们看到的将是顺时针方向的圆周运动。

这个示波器的例子帮助我们解答了一个重要的问题——当我们处理正交信号时，是如何在硬件上实现j算子呢？答案就是，j算子的实现主要依赖于我们怎么处理两个信号之间的关系。我们将两个信号设定为正交的，即同相分量i（t）表示一个东—西向的值，而正交分量q（t）则表示为垂直的南—北向的值。所以，在上面例子中，j算子的实现仅仅是看发生器的输出端是怎样接到示波器的。同相信号i（t）控制的是水平偏转，而正交相信号q（t）则控制的是垂直偏转。其结果是一个二维的正交信号通过示波器显示的瞬时位置表示。

五、结语

在复信号、正交信号理论与处理方法中，诸如j算子、复数、虚部、实部、正交等术语和概念，往往令信号处理的初学者望而生畏。本文采用数形结合的方法，借助复平面，揭示了复指数信号e■和正、余弦信号sin（ωt）、cos（ωt）之间的关系及相互表示方法。通过时域和频域三维图形的描述，分析了正交信号和实信号之间的关系，有助于我们理解正交信号的产生和传输等概念及处理方法。

参考文献：

[1]郭永明，水鹏朗.离散正交信号的离散时频分析[J].西北大学学报：自然科学版，2011，41（1）：48-52.

[2]B.P.LATHI.线性系统与信号[M].西安：西安交通大学出版社，2006.

[3]Lyons R.Quadrature signals：Complex，but not complicated[J].URL：http：//www.dspguru. com/info/tutor/quadsig.htm，2000.

[4]杨平，耿富录.正交采样的理论和技术实现[J].火控雷达技术，1992，（1）：25-30.

[5]张海滨.正交频分复用的基本原理与关键技术[M].国防工业出版社，2006.

基金项目：福建省教育厅A类科技项目——基于多特征的2D转3D视频算法研究；厦门理工学院教改项目——基于CDIO模式的信号处理课程群建设。

作者简介：唐骏（1977-），男，湖南永州人，研究生，讲师，研究方向：多媒体信号处理；刘虹（1978-），女，福建建瓯人，研究生，讲师，研究方向：嵌入式系统设计。endprint

从图3右侧可以看出实正弦波和余弦波是如何在复频域中表示的。图3右侧中的粗箭头不是旋转的向量，而是频域中的脉冲符号，用于表示一个复指数函数e■的一根谱线。谱脉冲所指方向仅仅表明谱分量的相对相位。这些谱线的幅度（强度）为1/2。

利用复频域，可以直观地理解如何利用两个正交信号构成一个复指数信号[4]。其过程如图4所示。首先给出一个实的正弦波，然后让它乘以j，最后再加上一个同频率的实余弦函数。其结果就是复指数函数e■。如果令复信号

e■=xc（t）=i（t）+jq（t），其中i（t）称为同相分量，而q（t）称为正交分量。三维的频域表示是我们用来理解通信系统中正交信号的产生、调制和解调的重要工具[5]。

四、眼见未必为“实”

为了充分理解上述讨论的正交信号xc（t）=i（t）+jq（t）的物理含义，我们要认识到，一个连续的正交信号不仅仅是一个数学抽象。我们可以在实验室中产生信号xc（t），也可以在实际中将其进行传输。我们所需要的仅仅是两个具有相同频率f0的正弦信号发生器。然后我们连接电缆到发生器的输出端，并将标记为'i（t）'的余弦信号和'q（t）'的正弦信号传输到接收端。在接收端，将连续信号i（t）和q（t）分别连接示波器的水平输入与垂直输入端，如图5所示，我们将在示波器上看到一个亮点逆时针地作圆周运动。如果将电缆被互换，我们看到的将是顺时针方向的圆周运动。

这个示波器的例子帮助我们解答了一个重要的问题——当我们处理正交信号时，是如何在硬件上实现j算子呢？答案就是，j算子的实现主要依赖于我们怎么处理两个信号之间的关系。我们将两个信号设定为正交的，即同相分量i（t）表示一个东—西向的值，而正交分量q（t）则表示为垂直的南—北向的值。所以，在上面例子中，j算子的实现仅仅是看发生器的输出端是怎样接到示波器的。同相信号i（t）控制的是水平偏转，而正交相信号q（t）则控制的是垂直偏转。其结果是一个二维的正交信号通过示波器显示的瞬时位置表示。

五、结语

在复信号、正交信号理论与处理方法中，诸如j算子、复数、虚部、实部、正交等术语和概念，往往令信号处理的初学者望而生畏。本文采用数形结合的方法，借助复平面，揭示了复指数信号e■和正、余弦信号sin（ωt）、cos（ωt）之间的关系及相互表示方法。通过时域和频域三维图形的描述，分析了正交信号和实信号之间的关系，有助于我们理解正交信号的产生和传输等概念及处理方法。

参考文献：

[1]郭永明，水鹏朗.离散正交信号的离散时频分析[J].西北大学学报：自然科学版，2011，41（1）：48-52.

[2]B.P.LATHI.线性系统与信号[M].西安：西安交通大学出版社，2006.

[3]Lyons R.Quadrature signals：Complex，but not complicated[J].URL：http：//www.dspguru. com/info/tutor/quadsig.htm，2000.

[4]杨平，耿富录.正交采样的理论和技术实现[J].火控雷达技术，1992，（1）：25-30.

[5]张海滨.正交频分复用的基本原理与关键技术[M].国防工业出版社，2006.

基金项目：福建省教育厅A类科技项目——基于多特征的2D转3D视频算法研究；厦门理工学院教改项目——基于CDIO模式的信号处理课程群建设。

作者简介：唐骏（1977-），男，湖南永州人，研究生，讲师，研究方向：多媒体信号处理；刘虹（1978-），女，福建建瓯人，研究生，讲师，研究方向：嵌入式系统设计。endprint