含源线性单口网络等效电阻的求解

摘要：戴维南定理和诺顿定理为人们求解复杂电路的等效电路提供了一种重要的方法，在实际运用中，难度较大的是如何求解戴维南和诺顿等效电路中的等效电阻，即含源线性单口网络的等效电阻。本文总结了几种常见的求解等效电阻的方法，以及人们在求解过程容易出现的误区。

关键词：含源线性单口网络；等效电阻；求解

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）15-0119-02

对求解含源线性单口网络的等效电路问题，戴维南定理和诺顿定理提供了一种普遍适用的方法，定理指出：含电源的线性单口网络，不论其结构如何复杂，就其端口而言，可等效为一个加压源和电阻相串联的形式，或等效为一个电流源与电阻相并联的形式。在线性电阻电路中，网络由独立电源、各种受控源及电阻等线性元件组成，对电路本身而言，除了独立电源，其他元件均可看成电路的负载，相当于一个电阻元件，我们称之为等效电阻。由此可见，戴维南定理和诺顿定理中的电阻就是这里的等效电阻。在运用这两个定理求解线性单口网络的等效电路时，关键在于如何求得单口网络的等效电阻Req。笔者结合多年的教学经验，通过分析线性单口网络的不同含源情况，总结归纳出了三种求解等效电阻的方法。

方法一：直接求解法。当线性单口网络只含有独立电源（独立电压源或独立电流源）而不含受控源时，可将单口网络内的独立电源置零，即将独立电压源短路，独立电流源断路，然后利用各电阻之间的联接方式，直接根据串并联公式或Δ-Y变换化法，求得等效电阻Req。

例1 求图1所示电路的戴维南等效电阻Req，其中Us1=40V，Is2=30A，R1=R2=R4=4Ω，R3=R5=8Ω。

解：先将电压源短路，电流源断路。此时，电阻R2、R3被短路，故端口ab处的等效电阻为：

Rep=（R1+R4）//R5=（4Ω+4Ω）//8Ω=4Ω

方法二：开路短路法。当单口网络既含有独立电源又含有受控源时，无法采用方法一来直接求解等效电阻，可用该单口网络的开路电压Uoc与短路电流Isc之比来求解，短路电流方向是由开路电压正极流向负极。

例2 求如图2所示单口网络的等效电阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。

解：先求ab端为开路时的电压Uoc，如图2（a）。要想求Uoc，需要先知道流过电阻R3电流i的大小，电流i可根据左边的回路，列出回路电压方程求得，即：

R1i+R2（i-ai）+R3i=us'

i=■=■A

从而：uoc=R3i=10×■=■V

求短路电流，即将ab端短接求如图2（b）电路所示的电流Isc。ab端相联，即R3被短接，流过R3的电流为零，所以有：

R1Isc+R2Isc=us

Isc=■=■A

由此可得：Req=■=■Ω

注意：在用开路短路法时，如求得的开路电压Uoc=0，则此法不可用，也不必再求Isc，Isc也必为零。此时只能用其他方法来求解单口网络的等效电阻了。

方法三：外加电源法。在求解复杂的二端口网络，尤其是含受控源的二端口网络的等效电阻时，可以通过在网络输出端外加上电压源（或电流源），然后求出输出端的电流（或电压），再由公式RO=■，求得等效电阻Req。但人们在利用这一方法求解等效电阻时，常存在一误区，即一直强调要将单口网络内部的独立源置零，电压源短路，电流源断路。实际上，在利用该法时，内部独立源不一定要置零，因为此法实际上是利用二端口的VCR关系，如果独立源置零，那么对于线性时不变电阻电路而言，端口VCR在U-I平面上是一条经过坐标原点的直线；如果独立源不置零，那么端口的VCR关系是一条不经过坐标原点的直线，但这两条直线的斜率是一样的。而我们的等效电阻更准确一点讲是VCR关系曲线的斜率，所以不管独立源置零不置零，直线的斜率是不会发生变化的，也就是等效电阻是不变的。

例3 求如图3所示单口网络的等效电阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。

解：我们采用外加电源的方法，在端口处外加一电压源（或电流源），求出端口电流（或端口电压）的关系。如将独立源置零，即将10V电压源短接。则有：

u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）

解得：u=■i，所以Req=■。

如果独立源电压源不置零，即保留10V电压源。则有：

u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）+10

解得：u=■i+■，这是一条不通过V-I平面原点的直线，直线斜率即等效电阻同样为Req=■Ω。由此可见，在用外加电源法求单口网络等效电阻时，内部独立源置零不置零均可。

有多种方法求解含源线性单口网络等效电阻，但每一种方法适用的对象不同和求解难易程度不同，在这些方法中，方法一最简单，但受限也最大，单口网络中不能含有受控源。方法二是最常用的方法，大部分情况下都可以采用这种方法，但当开路电压或短路电流为零时，就无法使用该方法了。方法三是最普适的方法，求等效电阻时，内置独立源既可以置零也可以不置零。

参考文献：

[1]李瀚荪.电路分析基础[M].第4版.北京：高等教育出版社，2011.

[2]邱光源.电路[M].第5版.北京：高等教育出版社，2012.

作者简介：陈海涛（1978-），男，河南人，博士，副教授，研究方向：电气工程。endprint

摘要：戴维南定理和诺顿定理为人们求解复杂电路的等效电路提供了一种重要的方法，在实际运用中，难度较大的是如何求解戴维南和诺顿等效电路中的等效电阻，即含源线性单口网络的等效电阻。本文总结了几种常见的求解等效电阻的方法，以及人们在求解过程容易出现的误区。

关键词：含源线性单口网络；等效电阻；求解

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）15-0119-02

对求解含源线性单口网络的等效电路问题，戴维南定理和诺顿定理提供了一种普遍适用的方法，定理指出：含电源的线性单口网络，不论其结构如何复杂，就其端口而言，可等效为一个加压源和电阻相串联的形式，或等效为一个电流源与电阻相并联的形式。在线性电阻电路中，网络由独立电源、各种受控源及电阻等线性元件组成，对电路本身而言，除了独立电源，其他元件均可看成电路的负载，相当于一个电阻元件，我们称之为等效电阻。由此可见，戴维南定理和诺顿定理中的电阻就是这里的等效电阻。在运用这两个定理求解线性单口网络的等效电路时，关键在于如何求得单口网络的等效电阻Req。笔者结合多年的教学经验，通过分析线性单口网络的不同含源情况，总结归纳出了三种求解等效电阻的方法。

方法一：直接求解法。当线性单口网络只含有独立电源（独立电压源或独立电流源）而不含受控源时，可将单口网络内的独立电源置零，即将独立电压源短路，独立电流源断路，然后利用各电阻之间的联接方式，直接根据串并联公式或Δ-Y变换化法，求得等效电阻Req。

例1 求图1所示电路的戴维南等效电阻Req，其中Us1=40V，Is2=30A，R1=R2=R4=4Ω，R3=R5=8Ω。

解：先将电压源短路，电流源断路。此时，电阻R2、R3被短路，故端口ab处的等效电阻为：

Rep=（R1+R4）//R5=（4Ω+4Ω）//8Ω=4Ω

方法二：开路短路法。当单口网络既含有独立电源又含有受控源时，无法采用方法一来直接求解等效电阻，可用该单口网络的开路电压Uoc与短路电流Isc之比来求解，短路电流方向是由开路电压正极流向负极。

例2 求如图2所示单口网络的等效电阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。

解：先求ab端为开路时的电压Uoc，如图2（a）。要想求Uoc，需要先知道流过电阻R3电流i的大小，电流i可根据左边的回路，列出回路电压方程求得，即：

R1i+R2（i-ai）+R3i=us'

i=■=■A

从而：uoc=R3i=10×■=■V

求短路电流，即将ab端短接求如图2（b）电路所示的电流Isc。ab端相联，即R3被短接，流过R3的电流为零，所以有：

R1Isc+R2Isc=us

Isc=■=■A

由此可得：Req=■=■Ω

注意：在用开路短路法时，如求得的开路电压Uoc=0，则此法不可用，也不必再求Isc，Isc也必为零。此时只能用其他方法来求解单口网络的等效电阻了。

方法三：外加电源法。在求解复杂的二端口网络，尤其是含受控源的二端口网络的等效电阻时，可以通过在网络输出端外加上电压源（或电流源），然后求出输出端的电流（或电压），再由公式RO=■，求得等效电阻Req。但人们在利用这一方法求解等效电阻时，常存在一误区，即一直强调要将单口网络内部的独立源置零，电压源短路，电流源断路。实际上，在利用该法时，内部独立源不一定要置零，因为此法实际上是利用二端口的VCR关系，如果独立源置零，那么对于线性时不变电阻电路而言，端口VCR在U-I平面上是一条经过坐标原点的直线；如果独立源不置零，那么端口的VCR关系是一条不经过坐标原点的直线，但这两条直线的斜率是一样的。而我们的等效电阻更准确一点讲是VCR关系曲线的斜率，所以不管独立源置零不置零，直线的斜率是不会发生变化的，也就是等效电阻是不变的。

例3 求如图3所示单口网络的等效电阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。

解：我们采用外加电源的方法，在端口处外加一电压源（或电流源），求出端口电流（或端口电压）的关系。如将独立源置零，即将10V电压源短接。则有：

u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）

解得：u=■i，所以Req=■。

如果独立源电压源不置零，即保留10V电压源。则有：

u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）+10

解得：u=■i+■，这是一条不通过V-I平面原点的直线，直线斜率即等效电阻同样为Req=■Ω。由此可见，在用外加电源法求单口网络等效电阻时，内部独立源置零不置零均可。

有多种方法求解含源线性单口网络等效电阻，但每一种方法适用的对象不同和求解难易程度不同，在这些方法中，方法一最简单，但受限也最大，单口网络中不能含有受控源。方法二是最常用的方法，大部分情况下都可以采用这种方法，但当开路电压或短路电流为零时，就无法使用该方法了。方法三是最普适的方法，求等效电阻时，内置独立源既可以置零也可以不置零。

参考文献：

[1]李瀚荪.电路分析基础[M].第4版.北京：高等教育出版社，2011.

[2]邱光源.电路[M].第5版.北京：高等教育出版社，2012.

作者简介：陈海涛（1978-），男，河南人，博士，副教授，研究方向：电气工程。endprint

摘要：戴维南定理和诺顿定理为人们求解复杂电路的等效电路提供了一种重要的方法，在实际运用中，难度较大的是如何求解戴维南和诺顿等效电路中的等效电阻，即含源线性单口网络的等效电阻。本文总结了几种常见的求解等效电阻的方法，以及人们在求解过程容易出现的误区。

关键词：含源线性单口网络；等效电阻；求解

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）15-0119-02

对求解含源线性单口网络的等效电路问题，戴维南定理和诺顿定理提供了一种普遍适用的方法，定理指出：含电源的线性单口网络，不论其结构如何复杂，就其端口而言，可等效为一个加压源和电阻相串联的形式，或等效为一个电流源与电阻相并联的形式。在线性电阻电路中，网络由独立电源、各种受控源及电阻等线性元件组成，对电路本身而言，除了独立电源，其他元件均可看成电路的负载，相当于一个电阻元件，我们称之为等效电阻。由此可见，戴维南定理和诺顿定理中的电阻就是这里的等效电阻。在运用这两个定理求解线性单口网络的等效电路时，关键在于如何求得单口网络的等效电阻Req。笔者结合多年的教学经验，通过分析线性单口网络的不同含源情况，总结归纳出了三种求解等效电阻的方法。

方法一：直接求解法。当线性单口网络只含有独立电源（独立电压源或独立电流源）而不含受控源时，可将单口网络内的独立电源置零，即将独立电压源短路，独立电流源断路，然后利用各电阻之间的联接方式，直接根据串并联公式或Δ-Y变换化法，求得等效电阻Req。

例1 求图1所示电路的戴维南等效电阻Req，其中Us1=40V，Is2=30A，R1=R2=R4=4Ω，R3=R5=8Ω。

解：先将电压源短路，电流源断路。此时，电阻R2、R3被短路，故端口ab处的等效电阻为：

Rep=（R1+R4）//R5=（4Ω+4Ω）//8Ω=4Ω

方法二：开路短路法。当单口网络既含有独立电源又含有受控源时，无法采用方法一来直接求解等效电阻，可用该单口网络的开路电压Uoc与短路电流Isc之比来求解，短路电流方向是由开路电压正极流向负极。

例2 求如图2所示单口网络的等效电阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。

解：先求ab端为开路时的电压Uoc，如图2（a）。要想求Uoc，需要先知道流过电阻R3电流i的大小，电流i可根据左边的回路，列出回路电压方程求得，即：

R1i+R2（i-ai）+R3i=us'

i=■=■A

从而：uoc=R3i=10×■=■V

求短路电流，即将ab端短接求如图2（b）电路所示的电流Isc。ab端相联，即R3被短接，流过R3的电流为零，所以有：

R1Isc+R2Isc=us

Isc=■=■A

由此可得：Req=■=■Ω

注意：在用开路短路法时，如求得的开路电压Uoc=0，则此法不可用，也不必再求Isc，Isc也必为零。此时只能用其他方法来求解单口网络的等效电阻了。

方法三：外加电源法。在求解复杂的二端口网络，尤其是含受控源的二端口网络的等效电阻时，可以通过在网络输出端外加上电压源（或电流源），然后求出输出端的电流（或电压），再由公式RO=■，求得等效电阻Req。但人们在利用这一方法求解等效电阻时，常存在一误区，即一直强调要将单口网络内部的独立源置零，电压源短路，电流源断路。实际上，在利用该法时，内部独立源不一定要置零，因为此法实际上是利用二端口的VCR关系，如果独立源置零，那么对于线性时不变电阻电路而言，端口VCR在U-I平面上是一条经过坐标原点的直线；如果独立源不置零，那么端口的VCR关系是一条不经过坐标原点的直线，但这两条直线的斜率是一样的。而我们的等效电阻更准确一点讲是VCR关系曲线的斜率，所以不管独立源置零不置零，直线的斜率是不会发生变化的，也就是等效电阻是不变的。

例3 求如图3所示单口网络的等效电阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。

解：我们采用外加电源的方法，在端口处外加一电压源（或电流源），求出端口电流（或端口电压）的关系。如将独立源置零，即将10V电压源短接。则有：

u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）

解得：u=■i，所以Req=■。

如果独立源电压源不置零，即保留10V电压源。则有：

u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）+10

解得：u=■i+■，这是一条不通过V-I平面原点的直线，直线斜率即等效电阻同样为Req=■Ω。由此可见，在用外加电源法求单口网络等效电阻时，内部独立源置零不置零均可。

有多种方法求解含源线性单口网络等效电阻，但每一种方法适用的对象不同和求解难易程度不同，在这些方法中，方法一最简单，但受限也最大，单口网络中不能含有受控源。方法二是最常用的方法，大部分情况下都可以采用这种方法，但当开路电压或短路电流为零时，就无法使用该方法了。方法三是最普适的方法，求等效电阻时，内置独立源既可以置零也可以不置零。

参考文献：

[1]李瀚荪.电路分析基础[M].第4版.北京：高等教育出版社，2011.

[2]邱光源.电路[M].第5版.北京：高等教育出版社，2012.

作者简介：陈海涛（1978-），男，河南人，博士，副教授，研究方向：电气工程。endprint