双曲空间中的拉普拉斯算子

王全胜

(荆楚理工学院 数理学院，湖北 荆门 448000)

双曲空间中的拉普拉斯算子

王全胜

(荆楚理工学院 数理学院，湖北 荆门 448000)

拉普拉斯算子是黎曼流形上一类重要的微分算子，流形上很多问题的研究都与拉普拉斯算子有关。文章得到了不同双曲空间模型中拉普拉斯算子的计算公式，利用这些计算公式，通过计算具体函数的拉普拉斯，可以直观地看到拉普拉斯算子与度量密切是相关的。

拉普拉斯算子；双曲空间；黎曼度量

0 引言

拉普拉斯算子是黎曼流形上一类重要的微分算子，流形上很多问题的研究都与拉普拉斯算子有关(如流形的谱问题)，因而掌握拉普拉斯算子的计算方法是重要的。设M是一个n维的黎曼流形，g,△分别是M上的黎曼度量(度量也可用ds2表示)和拉普拉斯算子，当M的截曲率是常数时，这样的黎曼流形被称为空间形式。常见的空间形式有三种，而双曲空间形式(一般称为双曲空间)是其中一种，其截曲率为-1。空间形式是黎曼流形中很重要的模型，是学习黎曼流形的基础。而相对于另外两种空间形式欧氏空间和单位球来说，对双曲空间的理解就要困难一些。而在本文中，我们的目的就是要得到双曲空间中拉普拉斯算子的具体表述形式。但黎曼流形的度量并不是唯一的，而拉普拉斯算子与度量又密切相关，要完全给出双曲空间上拉普拉斯算子的表述形式非常困难。因此，在本文中，我们将先给出双曲空间的一些常见度量，然后给出这些度量下拉普拉斯算子的表述形式。下文先介绍一些与本文研究问题相关的知识。

1 预备知识

对于黎曼流形上的拉普拉斯算子，通常的定义的方法是先梯度后散度，即是由梯度算子和散度算子的一种复合算子。以下简要介绍这几种算子，具体细节可参看文献[1-2]。

(1)

设n维双曲空间Hn是n+1维欧氏空间Rn+1的浸入子流形，在文献[3]中，给出下述基本型：

H={(1,x2,…,xn+1):xn+1>0}

关于这三种基本型的度量分别为：

(2)

(3)

(4)

接下来，我们将给出在这三种度量下双曲空间的拉普拉斯算子的表述形式。

2 主要结果及其证明

在文献[4]中，作者给出了一类乘积流形上的拉普拉斯算子的具体表达式。在本节中，我们将导出在第1节给出的三种度量下双曲空间的拉普拉斯算子的表述形式。关于双曲空间的具体内容可参看文献[5]。

定理1 设双曲空间中，三种度量对应的拉普拉斯算子分别为ΔH,ΔI,ΔJ，则其分别为：

证明由式(2)可知，在第一种度量下，有：

再由式(1)，可知

同样由式(2)可知，在第二种度量下，有：

同样由式(1)，可知

作与前两种情形类似的计算，可知在第三种度量下，有：

gij=δij,i,j=1,…,n;gn+1,n+1=-1

再由式(1)，可知

至此，定理1得证。

3 计算实例

下文给出一个拉普拉斯的计算实例。利用上文给出的拉普拉斯算子的计算公式，计算最后一个坐标函数xn+1的拉普拉斯算子。

例1 由定理1直接计算可得：

ΔHxn+1=(2-n)xn+1,

ΔKxn+1=0。

由上面的例子可以看到，拉普拉斯算子的计算和度量是密切相关的。

[1] 陈维桓,李兴校.黎曼流形[M].北京:北京大学出版社,2002.

[2] Petersen P.Riemannian geometry[M].2nd ed.New York:Springer,2006.

[3] Cannon J W.Hyperbolic geometry[J].Flavors of Geometry,1997(31):59-111.

[4] 王全胜.乘积流形R×N上的拉普拉斯算子[J].科技创新导报,2013(27):208.

[5] Anderson J W.Hyperbolic geometry[M].2nd ed.London:Springer,2006.

2014-04-02

王全胜(1973-)，男，湖北公安人，荆楚理工学院讲师，硕士。研究方向：函数分析与几何分析。

O189.3

A

1008-4657(2014)04-0076-03

寸晓非]