建构自然的概念教学过程
——“任意角”概念的教学及反思

●高洪武 吴勇军 (温州市第二十二中学 浙江温州 325000)

建构自然的概念教学过程
——“任意角”概念的教学及反思

●高洪武 吴勇军 (温州市第二十二中学 浙江温州 325000)

人教A版《数学》主编刘绍学教授说过：“数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的.”从课堂教学看，概念课是在原有知识系统的基础上构建新的知识系统，那就应该以类比和归纳的方法，由浅入深地引导学生探究，使概念导出自然、水到渠成，这应该成为概念教学的基本指导思想.

本文以人教A版《数学(必修4)》第1章“任意角”概念教学为例，就“如何建构自然的概念教学过程”作初步探索，敬请广大同仁指正.

1 教学过程概述

环节1章学习主题引入

教师要求全体学生默读第1章章头文本框内文字.

师(PPT呈现)：我们知道，函数是刻画现实世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来刻画.周而复始(周期性)的变化现象广泛存在于现实世界中，为了刻画这种周而复始(周期性)的变化规律，我们引入了“三角函数”.

(教师板书标题.)

师：从标题可以看出，“三角函数”的中心词是“函数”.本章学习的内容是《数学(必修1)》所学函数部分的延续与深化.为了研究一种特殊的周期变化现象，我们的先人发明了三角函数.同时，不难发现，这一类函数是与“角”相关的.为此，本节课我们首先要学习的内容是：角的概念.

设计说明本课是“三角函数”的“开篇”，教师应发挥“先行组织者”的作用，要充分重视构建新知识系统基本研究思路，不仅作好“开篇”，而且要为整章教学作好准备.教学中，通过展示典型丰富的实例，让学生看到现实世界中运动变化现象的多样性，具有“周而复始”变化规律现象的普遍存在性.我们已学过的幂函数、指数函数、对数函数等函数模型不能刻画这种变化规律，进而产生学习新的函数的愿望.同时，通过对“三角函数”概念的字面意义解读，有关研究“角”的话题应运而生.

环节2任意角的概念

师：说到“角”，大家对这个概念并不陌生，请同学们回忆一下初中我们学过的“角”的定义.

生：从一点出发的2条射线所组成的图形称为角.

(教师在黑板上画出角的图形，并复习角的表示方法.)

师：请大家再回忆一下，初中我们都学习了哪些类型的角?

生：锐角、钝角、直角、平角、周角.

师：什么叫周角?请大家画出一个周角.

生：由一条射线绕端点旋转一周形成的.

师：原来角的概念还可以从旋转这个角度去认识.

师(PPT呈现)：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角.所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.

师：其实，通过旋转形成角的例子在生活中很多：比如体操和跳水比赛中，我们经常听到“空中转体720°(即转体2周)”这样的动作名称，以及钟表快慢调整时的时针、分针转动等.

实验演示：钟表显示下午3点整，走快了1小时，该如何调整钟表?

学生活动：2个学生上前台演示，通过实验容易得到：每一次调整方案都对应了一种旋转方向及转过的度数，为角的新定义出台进行充分的“热身”.

师：从刚才的实验中，我们发现不仅要知道旋转量，还要知道旋转方向.旋转方向分为顺时针方向和逆时针方向.另外，转动的圈数也往往不止一圈.这样，角度的范围需要从初中学的0°～360°拓广到现在任意大小.因此，本节课我们要研究的是“任意”角的概念.

(教师完善板书：在“角的概念”前面添加“任意”2字.)

师：这样一来，如果按照旋转方向不同，角可以划分为：按顺时针方向旋转形成的角和按逆时针方向旋转形成的角.在初中，为了清楚地表示支出50元和收入50元，在数字表示上采用什么方式?

生：用正、负数区分.

师：那么我们采用什么方法去区别因旋转方向不同而形成不同类型的角呢?

(学生很容易联想到用正、负数来区别.由于顺时针方向走过的时间是已经流失的时间，相当于已经被我们支付了.类比过来，顺时针方向旋转形成角自然用负角表示，学生是能理解和接受的.)

师生小结：我们规定按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;逆时针方向旋转形成的角叫做正角;如果一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角.

(教师板书：角的分类(一).)

设计说明怎样想到通过旋转对角下定义呢?尽量给学生创设一个恰当情景，通过师生互动，让学生自主地发现这一事实，是非常重要的.怎样从数学角度去区分因旋转方向不同而形成的不同类型的角呢?通过类比初中正、负数的引入，再通过时钟调整实验，学生很自然联想到用正、负数表示旋转方向不同的角度.新概念的引入，要充分尊重学生已有的经验，顺应学生的知识基础和情感基础，这样，学生在接受新知识时就不会觉得数学是硬塞给他们的一些“毫无情感的、生硬的、死板的”规则.

环节3直角坐标系下角的研究

问题如图1所示，已知角α与角β，试比较α与β的大小(假定α，β都是按逆时针方向旋转而成).

图1

图2

学生活动：讨论比较角的大小的方法.

方法1先用量角器量出2个角度大小，然后再进行比较.

方法2将2个角一边重合，看另一边位置关系，然后判断大小关系.

方法3由观察得出猜想：角α为锐角，角β为钝角，然后作图验证，即只需分别过角α与角β的顶点作一条边的垂线，然后比较另一边与垂线的位置关系，最后得出角α与角β的大小关系.

师：根据上面的解决方法，我们不难得出：为了更方便、更好地研究角度的大小关系，我们常常将角的始边重合，这样角度关系研究就可以转化为终边位置关系研究.同时，若一些特殊角的终边给出，则可以更方便进行角度的研究，这时我们需要给其找到一个恰当的“参照物”.初中阶段关于角度的划分以90°的整数倍为基准，而能够很好体现90°整数倍的参照物是“平面直角坐标系”.因此，我们常在平面直角坐标下去研究有关角度的一些问题.在平面直角坐标系中研究角，首先要弄清楚如何放置角的问题.这里，我们作统一规定：

(1)角的顶点置于坐标原点;

(2)角的始边与x轴的非负半轴重合.

师：这样角的终边在平面直角坐标系中的位置就分2种：

(1)终边落在某个象限，我们称其为象限角;

(2)终边落在某坐标轴上，我们称其为轴线角.

(教师板书：角的分类(二).)

设计说明任意角除沿用度数表示外，还可用“形”表示.当然，“度数”还可以有不同的度量单位.这里，用“形”表示是知识的“增长点”，其类比的对象就是用数轴上的点表示实数.以“没有正负的零角”为“基准”，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，在这个统一前提下，任意角就只与它的终边相关.由此可以让学生理解象限角定义的思想，而且其中渗透了标准化、简单化、对应等思想.在同一“参照系”下，对角的讨论就归结为终边的问题，问题得到简化.

环节4终边相同角的集合表示

教师按照学生的认知水平，根据“序进原理”，由浅入深地设计了3个层次的问题.问题1是第1层次;问题2～6是第2层次;问题7是第3层次.

问题1已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，画出下列角，并将相同终边的角归为同一类.

学生容易将上面的角按终边相同归为3类：

问题2你还能再写出与90°终边相同的其他一些角吗?

问题3你能写出与90°终边相同的角(连同90°在内)的集合吗?

问题4你能再写出一些与45°终边相同的角吗?

问题5你能写出与45°终边相同的角(连同45°在内)的集合吗?

问题6你能写出与角α(连同α在内)终边相同的角的集合吗?

设计说明终边相同角的集合表示是教学中的难点之一.本环节笔者先让学生具体感知，教师再启发提问，最后学生通过归纳推理、自主探究得到.由于整个归纳过程先有具体实验操作，再按终边相同进行分类就比较容易.由于已经有了对一些终边相同的具体角大小关系的感知，再让学生写出一些终边相同的具体角也就比较容易完成.学生在解决问题的同时也在慢慢领悟终边相同角之间的内在联系，等到让学生写出终边相同角的集合时，只剩下的最后一层纸，自然“一捅而破”.整个过程，由于设问起点低、步子小，公式的理解与内化就显得水到渠成，润物无声.对“终边相同角的集合表示”的研究，让学生体会到角终边旋转的“周而复始”性，也为后续三角函数定义学习埋下了伏笔.

(限于篇幅，课堂练习、课后小结等教学环节略去.)

2 设计思路说明

本节课尽力让学生经历概念的形成过程，充分体现知识的逻辑顺序自然、学生思维过程的自然.设计思路如下：

针对“三角函数的开篇”的内容特点，笔者先通过呈现大量具有“周而复始”运动变化规律的自然现象引入三角函数的话题;然后由对“三角函数”字面意义解读引出“角”的概念;再通过回忆初中学过的“周角”引入“旋转”的概念，由体操中的转体运动及钟表快慢调节实验进一步说明从“旋转”角度定义角的必要性.

通过再次回忆初中角度划分及角度大小比较的实验让学生认识到：引入恰当的参照物将有助于角度的量化与大小比较.于是在平面直角坐标系下研究角度就成了自然而然的事情.

学生在平面直角坐标系中亲自动手画角，通过画图，让学生自发地领悟到某些角度终边相同的事实.当学生再举出一些终边相同角的例子时，终边相同角的大小关系已经呼之欲出了.最后再给出终边相同角的集合表示也就是一件水到渠成的事情.

3 几点反思

3.1 了解学生认知困惑，力保过程自然是概念教

学应尊重的前提

“自然”一词，在本文的含义为“不做作、不拘束、不呆板、非勉强的”.教育的最高境界是“无痕”.本课所呈现的4个环节，力求过程自然.尽量回答了学生心中可能存在的一些疑虑“为什么要学习本章，学了会有什么用?角的范围为什么要突破初中的0°～360°的范围?为什么要在平面直角坐标系内去研究角?”等.每个人心中都会有或多或少的“恋旧情怀”，当新知识的学习需要学生打破原有的认知结构时，他们心中会产生一种“排挤现象”.这个时候，新出台的概念应尽量显得自然，让学生觉得它是数学知识体系向前发展的一种必然，或者是实际问题解决的一种需要等.总之，只有学生内心觉得那些新知识、新概念是必要的、必需的，他们封闭的心扉才会敞开，新知的内化才有可能.

3.2 合理设置认知冲突，问题驱动思考是概念教学不可缺的手段

根据顾泠沅先生倡导的“序进原理”，本课在多个环节的落实上由浅入深地设置了恰时恰点的问题.通过问题驱动，学生能积极进入教师预设的情景中思考.同时，通过营造恰当的认知冲突，让学生的思维进入一种“愤悱状态”.在问题的思考和解决过程中，一些新概念便呼之欲出，其内涵也潜移默化地进入了学生的大脑.这些恰时恰点的问题既为新概念的出台扫清了障碍，也让学生在思考过程中提升了问题解决能力.

3.3 创设恰当活动情景，实验促进理解是概念教学可借力的平台

美国教育家苏娜丹戴克说：“告诉我，我会忘记;做给我看，我会记住;让我参加，我就会完全理解.”课堂教学中，可以恰当地创设一些活动情景，让学生参与进来，学生参与活动的过程其实也是帮助学生体验概念形成的过程.本课设计了2次重要的活动：一次是让学生进行时钟调整的实验;另一次是在平面直角坐标系中画角.这2次实验都是比较容易完成的，但确为学生形成相应的数学概念和原理作了很好铺垫.

3.4 系统高度俯视新知，承前启后工作是概念教学可持续的保证

本课站在函数学习的系统高度来实施教学，让学生认识到新知识的学习是函数知识系统自然扩展的结果.同时角的范围扩展、在平面直角坐标系下研究角等内容都是站在原有的知识基础上进行的，这样能方便学生将新知识纳入原有的知识网络结构.同时新概念讲解过程中反复强调了角终边旋转的“周而复始性”，这为后面三角函数周期性学习作好铺垫、埋好伏笔.总之，作好新概念的承前启后工作，让学生对数学概念的学习始终处于一个系统中，会让我们的数学学习愈来愈如“漫江碧透、鱼翔浅底”，知识好像在手心里，了若指掌，而不再是那一堆瓦砾，那一片望而生畏的戈壁滩.

(笔者在此特别感谢曹鸿德先生对本文写作的指导!)

［1］ 高洪武.加强概念教学，关注数学理解［J］.现代中小学教育，2010(9)：31-33.

［2］高洪武.追求数学课堂的自然高效［J］.中学数学杂志，2011(3)：15-17.

［3］高洪武.基于自然高效的任务驱动型复习课设计［J］.数学通讯，2011(7)：15-17.