常微分方程通解、特解、所有解的区别与联系

刘雄伟， 王 晓

(国防科技大学理学院，湖南长沙410073)

在国内的高等数学教材与常微分方程教材中，对于n阶常微分方程

(1)

关于通解、特解通常定义如下[1,2]：

如果包含有n个相互独立的任意常数C1,C2,…,Cn的关系式

Φ(x,y,C1,C2,…,Cn)=0

(2)

确定的函数y=φ(x,C1,C2,…,Cn)是(1)的解，则称(2)为(1)的通解.通过初值条件

y(x0)=y1,y′(x0)=y2,…,y(n-1)(x0)=yn

(3)

确定通解中的任意常数后，得到的解Φ(x,y)=0称为(1)的特解.

对于非数学专业的学生来说，在高等数学课程的常微分方程学习过程中，通解、特解、所有解的定义及相互关系，二阶齐次线性微分方程降阶法和二阶常系数非齐次线性微分方程所设特解的处理方式，一直是学生在学习过程中容易产生困惑的内容.为了更好的理解和求解常微分方程，关于常微分方程的通解、特解和微分方程的所有解的基本概念和求解过程中的一些处理方式有几点需要特别注意.

(i) 通解并不一定包含微分方程的所有解.

例如[1]，y=sin(x+C)是微分方程

(4)

的通解，但y=±1也是(4)的解，显然不包含在通解中，即通解不包含方程的所有解.因此，在做练习时，应该注意求解微分方程与求微分方程通解的差别.一般来说，求解微分方程应该将满足微分方程的所有解求出，而求通解只需要求得一个包含与微分方程阶数相同个数的、相互独立的任意常数的解即可.同时通解也不唯一，如微分方程[3]

xy′-3y=0

(5)

在全体实数范围内通解可以为y=Cx3，也可以是

值得注意的是，一般来说微分方程的通解可以包含它的所有解，或者在满足一定的条件下，微分方程的通解会包……