二次函数与绝对值函数联姻

2014-10-17 00:04杨光
理科考试研究·高中 2014年8期
关键词:代数式对称轴整数

杨光

中数参2012年第3期《一道不等式题的求解历程》一文中,提出了一道以二次不等式为背景的题目:已知关于x的不[JP3]等式(2x-1)2

数a的取值范围.[JP]

原文作者从数与形两方面对上题进行了分析求解,综合得出“形”在解决此题中的优势,随后又就数a的几何意义做了进一步的挖掘:|a|的大小影响了二次函数g(x)=ax2图象的开口大小.

研读全文,结合实际数学情况,如果用原文“形”的办法,需要绘制两幅二次函数图象,且还需要比较两条曲线相对开口大小,学生绘图时难免会出错,直接影响后续的用图求解.能否实现数与形更充实地融合,以期进一步提高解题效率呢?我们不妨做一番探索.

首先,容易发现a值肯定大于0;其次,等价转化为绝对值不等式:|2x-1|

解后反思:上述解法较原文“数”上多做了一步等价转化,而“形”中巧妙地以直代曲,可操作性更强.不妨进一步做一般化的归纳——形如y=a|x-h|+k的绝对值函数,与形如y=a(x-h)2+k的二次函数在“形”上有许多相似点,他们都有相同的顶点(h,k),都有相同的对称轴方程

为x=h,参量a决定了图象的开口方向及大小等,所以根据解题的不同需要完全可以进行相互模拟.

以下给出一变题,读者不妨再次体验一下这种以直代曲的好处.

变式:已知关于x的不等式(2x-a)2

当然,由于学生对二次函数图象性质较熟悉,所以在解决[HJ1.5mm]绝对值函数问题时,我们又可以套用二次函数典型问题的处理办法.

例已知函数f(x)=|x+13-a|+2a,且0≤a≤34,当x∈[0,12]时,试求函数f(x)的最大值M(a).

分析解决此问题的常规办法,对绝对值内代数式x+13-a的符号进行讨论,进而去绝对值符号,但由于代数式x+13-a内含参,讨论起来十分麻烦.换个思维方向,如果能把绝对值函数y=f(x)与二次函数g(x)=[x-(a-13)]2+2a的图象联系起来,不觉茅塞顿开.y=f(x)的图象有一条类似二次函数的“动”对称轴,即直线x=a-13,而x的取值为“定”区间[0,12],且x=a-13为函数f(x)的极小值点,函数的最大值点只能出现在区间的两个端点处,故可以类比于二次函数中典型的“定区间,动对称轴”问题进行讨论.

解1.当a-13<14时,即0≤a<712时,f(x)max=f(12)=|56-a|+2a=a+56.

2.当a-13≥14时,即712≤a≤34时,f(x)max=f(0)=|13-a|+2a=3a-13.

综上M(a)=a+56 (0≤a<712),3a-56 (712≤a≤34).

通过以上的探索,我们体会到了二次函数与一类绝对值函数在“形”上有较理想的契合,可以借此进行两种函数图象的相互类比,从而实现对问题的灵活求解.

中数参2012年第3期《一道不等式题的求解历程》一文中,提出了一道以二次不等式为背景的题目:已知关于x的不[JP3]等式(2x-1)2

数a的取值范围.[JP]

原文作者从数与形两方面对上题进行了分析求解,综合得出“形”在解决此题中的优势,随后又就数a的几何意义做了进一步的挖掘:|a|的大小影响了二次函数g(x)=ax2图象的开口大小.

研读全文,结合实际数学情况,如果用原文“形”的办法,需要绘制两幅二次函数图象,且还需要比较两条曲线相对开口大小,学生绘图时难免会出错,直接影响后续的用图求解.能否实现数与形更充实地融合,以期进一步提高解题效率呢?我们不妨做一番探索.

首先,容易发现a值肯定大于0;其次,等价转化为绝对值不等式:|2x-1|

解后反思:上述解法较原文“数”上多做了一步等价转化,而“形”中巧妙地以直代曲,可操作性更强.不妨进一步做一般化的归纳——形如y=a|x-h|+k的绝对值函数,与形如y=a(x-h)2+k的二次函数在“形”上有许多相似点,他们都有相同的顶点(h,k),都有相同的对称轴方程

为x=h,参量a决定了图象的开口方向及大小等,所以根据解题的不同需要完全可以进行相互模拟.

以下给出一变题,读者不妨再次体验一下这种以直代曲的好处.

变式:已知关于x的不等式(2x-a)2

当然,由于学生对二次函数图象性质较熟悉,所以在解决[HJ1.5mm]绝对值函数问题时,我们又可以套用二次函数典型问题的处理办法.

例已知函数f(x)=|x+13-a|+2a,且0≤a≤34,当x∈[0,12]时,试求函数f(x)的最大值M(a).

分析解决此问题的常规办法,对绝对值内代数式x+13-a的符号进行讨论,进而去绝对值符号,但由于代数式x+13-a内含参,讨论起来十分麻烦.换个思维方向,如果能把绝对值函数y=f(x)与二次函数g(x)=[x-(a-13)]2+2a的图象联系起来,不觉茅塞顿开.y=f(x)的图象有一条类似二次函数的“动”对称轴,即直线x=a-13,而x的取值为“定”区间[0,12],且x=a-13为函数f(x)的极小值点,函数的最大值点只能出现在区间的两个端点处,故可以类比于二次函数中典型的“定区间,动对称轴”问题进行讨论.

解1.当a-13<14时,即0≤a<712时,f(x)max=f(12)=|56-a|+2a=a+56.

2.当a-13≥14时,即712≤a≤34时,f(x)max=f(0)=|13-a|+2a=3a-13.

综上M(a)=a+56 (0≤a<712),3a-56 (712≤a≤34).

通过以上的探索,我们体会到了二次函数与一类绝对值函数在“形”上有较理想的契合,可以借此进行两种函数图象的相互类比,从而实现对问题的灵活求解.

中数参2012年第3期《一道不等式题的求解历程》一文中,提出了一道以二次不等式为背景的题目:已知关于x的不[JP3]等式(2x-1)2

数a的取值范围.[JP]

原文作者从数与形两方面对上题进行了分析求解,综合得出“形”在解决此题中的优势,随后又就数a的几何意义做了进一步的挖掘:|a|的大小影响了二次函数g(x)=ax2图象的开口大小.

研读全文,结合实际数学情况,如果用原文“形”的办法,需要绘制两幅二次函数图象,且还需要比较两条曲线相对开口大小,学生绘图时难免会出错,直接影响后续的用图求解.能否实现数与形更充实地融合,以期进一步提高解题效率呢?我们不妨做一番探索.

首先,容易发现a值肯定大于0;其次,等价转化为绝对值不等式:|2x-1|

解后反思:上述解法较原文“数”上多做了一步等价转化,而“形”中巧妙地以直代曲,可操作性更强.不妨进一步做一般化的归纳——形如y=a|x-h|+k的绝对值函数,与形如y=a(x-h)2+k的二次函数在“形”上有许多相似点,他们都有相同的顶点(h,k),都有相同的对称轴方程

为x=h,参量a决定了图象的开口方向及大小等,所以根据解题的不同需要完全可以进行相互模拟.

以下给出一变题,读者不妨再次体验一下这种以直代曲的好处.

变式:已知关于x的不等式(2x-a)2

当然,由于学生对二次函数图象性质较熟悉,所以在解决[HJ1.5mm]绝对值函数问题时,我们又可以套用二次函数典型问题的处理办法.

例已知函数f(x)=|x+13-a|+2a,且0≤a≤34,当x∈[0,12]时,试求函数f(x)的最大值M(a).

分析解决此问题的常规办法,对绝对值内代数式x+13-a的符号进行讨论,进而去绝对值符号,但由于代数式x+13-a内含参,讨论起来十分麻烦.换个思维方向,如果能把绝对值函数y=f(x)与二次函数g(x)=[x-(a-13)]2+2a的图象联系起来,不觉茅塞顿开.y=f(x)的图象有一条类似二次函数的“动”对称轴,即直线x=a-13,而x的取值为“定”区间[0,12],且x=a-13为函数f(x)的极小值点,函数的最大值点只能出现在区间的两个端点处,故可以类比于二次函数中典型的“定区间,动对称轴”问题进行讨论.

解1.当a-13<14时,即0≤a<712时,f(x)max=f(12)=|56-a|+2a=a+56.

2.当a-13≥14时,即712≤a≤34时,f(x)max=f(0)=|13-a|+2a=3a-13.

综上M(a)=a+56 (0≤a<712),3a-56 (712≤a≤34).

通过以上的探索,我们体会到了二次函数与一类绝对值函数在“形”上有较理想的契合,可以借此进行两种函数图象的相互类比,从而实现对问题的灵活求解.

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