浅谈构造函数法证明不等式

2014-10-17 00:07钟水兵
理科考试研究·高中 2014年8期
关键词:用处举例导数

钟水兵

本文首先介绍如何构造函数证明两个简单的不等式,在介绍如何构造函数证明复杂的不等式,以及在构造函数时如何如何整体把握.

首先介绍两个有用的不等式ex≥x+1,x∈R与lnx≤x-1,x>0.

这两个不等式不难从图象上看出,注意y=lnx与y=x-1分别是y=ex与y=x+1的反函数,图象关于y=x对称.

用导数证明如下: 构造函数

f(x)=ex-x-1,f ′(x)=ex-1.

x∈(-∞,0)时,f ′(x)<0,f(x)递减,x∈(0,+∞)时,f ′(x)>0, f(x)递增,所以f(x)≥f(0)=0,

即ex≥x+1.

构造函数f(x)=lnx-x+1,

f ′(x)=1x-1=1-xx,

x∈(0,1)时,f ′(x)>0, f(x)递增;x∈(1,+∞)时,f ′(x)<0, f(x)递减,所以f(x)≤f(0)=0.

即lnx≤x-1.

推论: ex-1≥x,x∈R;ln(x+1)≤x,x>-1.

这两个不等式在证明不等式与求字母范围时用处极其广泛,下面举例给以说明

例1已知f(x)=e2x-2t(ex+x)+x2+2t2+1,求证: f(x)≥32.

分析根据函数特征,考虑关于x的函数较为复杂,注意主次元的交换与整体把握.

解法一设

f(x)=g(t)=2t2-2(ex+x)t+x2+e2x+1.

本文首先介绍如何构造函数证明两个简单的不等式,在介绍如何构造函数证明复杂的不等式,以及在构造函数时如何如何整体把握.

首先介绍两个有用的不等式ex≥x+1,x∈R与lnx≤x-1,x>0.

这两个不等式不难从图象上看出,注意y=lnx与y=x-1分别是y=ex与y=x+1的反函数,图象关于y=x对称.

用导数证明如下: 构造函数

f(x)=ex-x-1,f ′(x)=ex-1.

x∈(-∞,0)时,f ′(x)<0,f(x)递减,x∈(0,+∞)时,f ′(x)>0, f(x)递增,所以f(x)≥f(0)=0,

即ex≥x+1.

构造函数f(x)=lnx-x+1,

f ′(x)=1x-1=1-xx,

x∈(0,1)时,f ′(x)>0, f(x)递增;x∈(1,+∞)时,f ′(x)<0, f(x)递减,所以f(x)≤f(0)=0.

即lnx≤x-1.

推论: ex-1≥x,x∈R;ln(x+1)≤x,x>-1.

这两个不等式在证明不等式与求字母范围时用处极其广泛,下面举例给以说明

例1已知f(x)=e2x-2t(ex+x)+x2+2t2+1,求证: f(x)≥32.

分析根据函数特征,考虑关于x的函数较为复杂,注意主次元的交换与整体把握.

解法一设

f(x)=g(t)=2t2-2(ex+x)t+x2+e2x+1.

本文首先介绍如何构造函数证明两个简单的不等式,在介绍如何构造函数证明复杂的不等式,以及在构造函数时如何如何整体把握.

首先介绍两个有用的不等式ex≥x+1,x∈R与lnx≤x-1,x>0.

这两个不等式不难从图象上看出,注意y=lnx与y=x-1分别是y=ex与y=x+1的反函数,图象关于y=x对称.

用导数证明如下: 构造函数

f(x)=ex-x-1,f ′(x)=ex-1.

x∈(-∞,0)时,f ′(x)<0,f(x)递减,x∈(0,+∞)时,f ′(x)>0, f(x)递增,所以f(x)≥f(0)=0,

即ex≥x+1.

构造函数f(x)=lnx-x+1,

f ′(x)=1x-1=1-xx,

x∈(0,1)时,f ′(x)>0, f(x)递增;x∈(1,+∞)时,f ′(x)<0, f(x)递减,所以f(x)≤f(0)=0.

即lnx≤x-1.

推论: ex-1≥x,x∈R;ln(x+1)≤x,x>-1.

这两个不等式在证明不等式与求字母范围时用处极其广泛,下面举例给以说明

例1已知f(x)=e2x-2t(ex+x)+x2+2t2+1,求证: f(x)≥32.

分析根据函数特征,考虑关于x的函数较为复杂,注意主次元的交换与整体把握.

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