基于知识表征的数学综合题教学实践与思考

刘海涛

数学综合题教学一直是初中数学教师研究的热点问题，也是初中数学教学的重点与难点。把解题教学与科学合理的程序性知识表征联系起来，对解题教学可起到事半功倍的效果。通过“图形”基本化、“动态”静态化、“典形”对象化、“局部”过程化等方法优化学生的数学认知结构，从而提高学生解答综合题的能力。

“图形”基本化 “动态”静态化 “典形”对象化 “局部”过程化

众所周知，数学教学离不开解题，而解题在安德森对知识的分类中属程序性知识，程序性知识的表征是一个产生式系统。数学程序性知识又分为智慧技能和认知策略，智慧技能又分为简单操作性技能和复杂操作性技能。综合题主要考查学生初中阶段所学的核心基本知识，基本技能，以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。题目灵活多变，对学生的数学能力要求比较高，学生要综合运用所学的知识和数学思想方法才能解答，因解法多维，故属复杂性操作技能，因此，学生对综合题的表征形成简单操作性技能，是教学的难点。如何表征才能建构科学合理的数学认知结构，从而提高学生解答综合题的能力？本文就此谈谈笔者的实践与思考。

一、“图形”基本化

“图形”基本化是指在复杂图形中分离出解题所需要的基本图形，利用基本图形的性质分析问题、解决问题。数学是研究现实世界空间形式与数量关系的科学，因为空间形式的复杂性，人类不可能把所有图形的性质都认知清楚。但人们发现，很多复杂的图形是由基本图形组合而成，把复杂图形的问题转化为基本图形的问题解决，是人类智慧的结晶。因此，基本图形的性质，以及如何从复杂图形中分离出基本图形是要求学生必须进行重点表征的。初中几何知识中，有很多基本图形，如相似形中的A型图、8型图、一线三等角、子母三角形等，这些基本图形的识别与性质的灵活运用是学生解决复杂问题的思维载体，有助于学生形成简单操作性技能，从而提高学生解综合题的能力。

例1：如图1，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E，设OA=x，CD=y.

（1）求BD长；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）当CE⊥OD时，求AO的长.

分析：此题由已知条件图形化之后，不难发现第（1）问运用△ACO∽△ODB从而求出BD长。第（2）问以第（1）问为线索，从图形中分离出来子母三角形△ACO∽△AOB（如图2），可顺利解答此问。第（3）问显然要把问题转化为方程问题。

（1）略，BD=9

（2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC=∠B

又∵∠A=∠A，∴△ACO∽△AOB

∴■=■，

∵AB=AC+CD+BD=y+13，∴■=■

∴y关于x的函数解析式为y=■x2-13

定义域为2■

（3）略，AO=2+2■.

思考：学生的数学认知结构中必须有基本图形清晰的表象，才能够与新的图形剌激产生联结，从而激活已经有的知识链，分离出基本图形。解题时，一是通过已知条件获得解题线索。此例中把已知条件图形化后，很快会发现相似的图形。二是通过敏锐的观察能力与表征的基本图形联结获得解题线索。此例中有几对子母三角形，那么在解题中运用哪一对呢？通过分析已知与未知所要的关系式，不难发现是运用△ACO∽△AOB这个线索。

二、“动态”静态化

“动态”静态化是指把动态问题通过动态不变性转化为静态问题来解决。动态问题反映的是现实世界空间形式与数量关系的变化规律，题目往往以动点问题出现，通常以几何图形为背景的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线或弧线上运动，与其他定点构成特殊图形的一类开放性题目。此类题目动中有静，静中有动，动静结合，惟妙惟肖，动点运动的图形中存在动态不变性，学生只有发现问题中的这个规律，巧妙利用这个规律，才能综合运用初中阶段所学习的核心知识解决问题。但是对不同的题目其动态不变性是不同的，因此学生在表征此类题目时，可把动态不变性进行分类表征，如：角度不变性，相似不变性等。

例2：如图3，已知扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=2，C为弧AB上的动点，且不与A、B重合，OE⊥AC于E，OD⊥BC于D。

①若BC=1，求OD的长；

②在△DOE中，是否存在长度保持不变的边，若存在，求出该边的长；若不存在，请说明理由；

③设BD=x，△DOE的面积为y，求y与x的函数关系式及定义域。

分析：如图4，本题第①问学生可顺利解答。第②问对部分学生来说有一定困难，原因是学生观察图形的能力以及对图形的感悟不理想，从中分析不出来点C在运动变化过程中，点D与点E始终分别是弦BC与AC的中点这个动态不变性，因此不能顺利解答此问。事实上，如果分析出这个动态不变性，连接AB即可得线段DE的长度是不变的始终是线段AB的一半。第③问要求△DOE的面积为y，依据三角形面积公式，必须知道一边及这边上的高，从已知不难发现OD是可用含x代数式表示出来的，就是在△DOE中，知道了一条边，根据解三角形知识，可知还少一个角，如果再知道一个角，问题即可解决，通过观察图形不难发现连接OC可得∠DOE在点C的运动过程中，其度数是不变的，始终是45°，抓住这个动态不变性，通过添加辅助线DF⊥OE，利用解直角三角形知识，可顺利解答此题。

解：（1）略，OD=■

（2）略，DE=■

（3）如图4，连接OC，作DF⊥OE交OE于点F

因为OD⊥BC，OE⊥AC，所以∠1=∠2，∠3=∠4

又因为∠AOB=90°，

所以∠2+∠3=■∠AOB=45°

即∠DOE=45°又因为DF⊥OE，

所以∠OFD=90°

所以∠ODF=45°DF=OF=■，

又因为OD=■

所以DF=OF=■，

又在Rt△DEF中，易得EF=■x，所以

y=■OE·DF=■（0

思考：一是教学中，要培养学生对图形的观察能力，使学生善于从动态变化的图形中通过分类、比较、辨析，探索出图形的动态不变性质。二是要使学生所学的知识能够形成一个稳定的认识结构，提高学生发散思维的变通性。学生解答数学问题要从大脑中提取所需的基本知识（陈述性知识）以及解决问题的基本方法（程序性知识），如果这些知识在大脑中有稳定合理的知识结构，这样，学生提取知识的速度和运用这些知识进行联想思维的能力会大大提高，如上题第三问的解答过程联想到要求出一个角，从而获得解题需要的角度不变性。

三、“典形”对象化

“典形”对象化是指对非常典型的问题，以对象的形式进行表征。面向对象的程序设计是计算机程序设计的最新思想，对象概念是随着人类利用计算机解决问题的复杂程度而产生的，是人类解决复杂问题的基本方法，对象由数据及对数据的处理程序组成，对象的三大特性是封装、继承、多态，一个对象解决一类问题。一是布鲁纳的研究认为：“学习就是类目及其编码系统的形成。一个类目指一组有关的对象或事件，它可以是一个概念，也可以是一条规则。”[1]二是长时记忆的表征理论认为：“人的长时记忆系统的表征并不是杂乱无章的，而是按照一定的规律有组织地储存。人的认知系统可以将大量相似信息组合在一起而形成更有代表性的相对抽象的心理表征，这种心理表征就是概念。”[2]三是学生学习数学知识，运用所学的知识解答数学问题，是比较复杂的一个思维操作过程，需要学生运用表征的数学知识分析问题、解决问题，综合题的复杂程度是可想而知的。把面向对象的思想运用到数学解题的表征上，对象由问题及问题的解决方法组成，封装是指把问题与解决问题的方法表征在一起，组成一个关联的整体，也就是布鲁纳所说的类目。继承是指把问题的已知条件进行等价变形，形成问题域，继承原问题的解决方法。多态是指进行一题多解、一题多变、一题多联。

第一，问题与解决方法封装在一起有利于知识的提取。学生解题时，需从长时记忆中提取信息，当检索到所需要的知识信息时，因为问题与解决问题的方法进行了封装，因此可形成组块被提取，有利于运用此知识信息进行新的信息加工。

第二，对问题的条件进行等价变式，有利于扩大问题的类比入口，从而在类比运用时容易被检索到。波利亚在怎样解题中说“你以前见过此题吗？是否见过形式上略有不同的题？你是否知道与此有关的题？是否知道可用的定理？注意未知！考虑一个你熟悉的未知相同或类似的题目。”运用类比迁移进行解题，是解题教学中的重要思想方法。当对题目条件进行充分变式后，能够扩大题目的类比范围，从而提高典型问题的类比率。

第三，对问题进行一题多解、一题多变、一题多联有利于培养学生的发散性思维能力。一题多解可开阔学生的解决问题的思维，使学生从多角度、多背景、多侧面去理解问题。一题多变可扩大问题本身的作用范围，同时培养学生的应变能力，深化解题思维，总结解题规律，培养创新思维能力，达到举一反三、触类旁通的目的。一题多联可形成问题系，丰富问题的CPFS结构。

例3：如图5，在直角坐标系中，O为原点。点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，

tan∠OAB=2，二次函数y=x2+mx+2的图像经过点A，B，顶点为D。

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）将△OAB绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置。将上述二次函数图像沿y轴向上或向下平移后经过点C。请直接写出点C的坐标和平移后所得图像的函数解析式；

（3）设（2）中平移后所得二次函数图像与Y轴的交点为B1，顶点为D1。点P在平移后的二次函数图像上，且满足△PBB1的面积是△PDD1面积的2倍，求点P的坐标。

分析：（1）二次函数y=x2+mx+2的图像经过点B，易得B点坐标为（0，2），再由tan∠OAB=2求出A点坐标，将二点坐标代入解析式即可求得函数解析式。

（2）易得C点坐标，由于沿y轴平移图像，故图像开口大小、对称轴均不变，设出解析式，代入C点坐标即可求解。

（3）由于P点位置不固定，由图6可知要分①当点P在对称轴的右侧时，②当点P在对称轴的左侧，同时在y轴的右侧时，③当点P在y轴的左侧时，三种情况讨论。

解：略。

此题是比较典型的二次函数与几何图形面积相结合的综合性问题，第一，对问题可寻求多种解法。第二，对求二次函数解析式问题，可对条件进行充分的变式，例如：可给出AB=■，OB=2等。第三，可将此题与其他二次函数问题进行联系，形成问题系。

思考：此题是典型的数型结合问题，学生在解答此题时，顺利画出图形是获取解题思路的重要步骤。波利亚在怎样解题的理解题中说：“学生应该专心地、反复地并且从各个方面来考虑题目的主要部分。如果一幅图与该题目有关，他应画一张图并在图上标明未知量与已知数据。”函数问题是数形结合的精典范例，在解题过程中，运用数形结合思想，从图形中，才能获得解题线索。教学实践表明，如果题目有图，学生解答起来比较容易，如果题目没有图形，需学生自己画图，就增加了题目的难度，因此，教学中要注重培养学生的画图能力，从而运用几何直观理解数学，使综合数学问题变得简明、形象，使抽象的数学问题形象化，才能提高学生解题的能力。学生对这类问题对象化后，会在长时记忆中形成此对象的清晰表征，便于需要时提取，同时对此类问题经变式训练可形成简单操作性技能。

四、“局部”过程化

“局部”过程化是指对综合题的局部解题方法进行过程化，使学生对这些过程的表征形成简单操作技能。过程化思想来源于计算机程序设计，在程序设计过程中，有很多程序在执行过程中会遇到同样的一些操作，而这些操作，解决的问题是相同的，只是有些变量的值是不同的，如解一元二次方程的程序，只是系数不同而已，因此在程序设计时，把解一元二次方程的程序可单独编写一个过程，供使用时调用。事实上，综合题虽然复杂多变，但在解题的过程中，是由很多的逻辑段组成的，而这些逻辑段在很多题目中是出现过的，简言之，综合题也是由简单的问题组合而成的。因此把这些动态不变的逻辑段程序化，形成简单操作技能供解题需要时提取，可以提高学生解题的能力。

例5：如图7，在平面直角坐标系XOY中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a>0）经过点A和X轴正半轴上的点B，AO=BO=2，∠AOB=120°。

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连接OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在X轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标。

分析：如图8，此题的第（3）问，点C是X轴上动点，且△ABC与△AOM相似，此类问题是初三数学教学中的一个非常常见的问题，两个三角形相似的分类讨论问题。此题三角形相似需两个条件，而题目中，隐含给一个角相等，∠ABX=∠AOM，而且题目分步引导学生先找到这对角相等，然后分类讨论解答此题。

解：（1）略y=■x2-■x

（2）略，∠AOM=150°；

（3）如图9，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，

∴∠ABO=∠OAB=30°，∴∠ABX=150°；

∴AB=2EO=2■，

∠ABX=∠AOM

当△ABC1∽△AOM，

解得：BC1=2，∴OC1=4，

∴C1的坐标为：（4，0）；

当△C2AB∽△AOM，

解得：BC2=6，∴OC2=8，

∴C2的坐标为：（8，0）.

综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）.

思考：初中数学中的一些基本问题，其变化有一定的规律性，且在综合题中经常出现，解题的思维过程比较固定，表征时可形成一个简单的操作技能，待需要时可快速提取运用于解决问题的过程中。

总之，综合题的解答是教学难点，教学中优化教学策略，指导学生科学合理地对综合题的解题进行表征，优化学生的数学认知结构，才能提高学生的综合分析问题、解决问题的能力，从而提高学生解答综合题的能力。

参考文献

[1] 孔凡哲，曾峥.数学学习心理学.北京：北京大学出版社，2009（3）.

[2] 张学民.实验心理学.北京：北京师范大学出版社，2009.

【责任编辑 付一静】

即∠DOE=45°又因为DF⊥OE，

所以∠OFD=90°

所以∠ODF=45°DF=OF=■，

又因为OD=■

所以DF=OF=■，

又在Rt△DEF中，易得EF=■x，所以

y=■OE·DF=■（0

思考：一是教学中，要培养学生对图形的观察能力，使学生善于从动态变化的图形中通过分类、比较、辨析，探索出图形的动态不变性质。二是要使学生所学的知识能够形成一个稳定的认识结构，提高学生发散思维的变通性。学生解答数学问题要从大脑中提取所需的基本知识（陈述性知识）以及解决问题的基本方法（程序性知识），如果这些知识在大脑中有稳定合理的知识结构，这样，学生提取知识的速度和运用这些知识进行联想思维的能力会大大提高，如上题第三问的解答过程联想到要求出一个角，从而获得解题需要的角度不变性。

三、“典形”对象化

“典形”对象化是指对非常典型的问题，以对象的形式进行表征。面向对象的程序设计是计算机程序设计的最新思想，对象概念是随着人类利用计算机解决问题的复杂程度而产生的，是人类解决复杂问题的基本方法，对象由数据及对数据的处理程序组成，对象的三大特性是封装、继承、多态，一个对象解决一类问题。一是布鲁纳的研究认为：“学习就是类目及其编码系统的形成。一个类目指一组有关的对象或事件，它可以是一个概念，也可以是一条规则。”[1]二是长时记忆的表征理论认为：“人的长时记忆系统的表征并不是杂乱无章的，而是按照一定的规律有组织地储存。人的认知系统可以将大量相似信息组合在一起而形成更有代表性的相对抽象的心理表征，这种心理表征就是概念。”[2]三是学生学习数学知识，运用所学的知识解答数学问题，是比较复杂的一个思维操作过程，需要学生运用表征的数学知识分析问题、解决问题，综合题的复杂程度是可想而知的。把面向对象的思想运用到数学解题的表征上，对象由问题及问题的解决方法组成，封装是指把问题与解决问题的方法表征在一起，组成一个关联的整体，也就是布鲁纳所说的类目。继承是指把问题的已知条件进行等价变形，形成问题域，继承原问题的解决方法。多态是指进行一题多解、一题多变、一题多联。

第一，问题与解决方法封装在一起有利于知识的提取。学生解题时，需从长时记忆中提取信息，当检索到所需要的知识信息时，因为问题与解决问题的方法进行了封装，因此可形成组块被提取，有利于运用此知识信息进行新的信息加工。

第二，对问题的条件进行等价变式，有利于扩大问题的类比入口，从而在类比运用时容易被检索到。波利亚在怎样解题中说“你以前见过此题吗？是否见过形式上略有不同的题？你是否知道与此有关的题？是否知道可用的定理？注意未知！考虑一个你熟悉的未知相同或类似的题目。”运用类比迁移进行解题，是解题教学中的重要思想方法。当对题目条件进行充分变式后，能够扩大题目的类比范围，从而提高典型问题的类比率。

第三，对问题进行一题多解、一题多变、一题多联有利于培养学生的发散性思维能力。一题多解可开阔学生的解决问题的思维，使学生从多角度、多背景、多侧面去理解问题。一题多变可扩大问题本身的作用范围，同时培养学生的应变能力，深化解题思维，总结解题规律，培养创新思维能力，达到举一反三、触类旁通的目的。一题多联可形成问题系，丰富问题的CPFS结构。

例3：如图5，在直角坐标系中，O为原点。点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，

tan∠OAB=2，二次函数y=x2+mx+2的图像经过点A，B，顶点为D。

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）将△OAB绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置。将上述二次函数图像沿y轴向上或向下平移后经过点C。请直接写出点C的坐标和平移后所得图像的函数解析式；

（3）设（2）中平移后所得二次函数图像与Y轴的交点为B1，顶点为D1。点P在平移后的二次函数图像上，且满足△PBB1的面积是△PDD1面积的2倍，求点P的坐标。

分析：（1）二次函数y=x2+mx+2的图像经过点B，易得B点坐标为（0，2），再由tan∠OAB=2求出A点坐标，将二点坐标代入解析式即可求得函数解析式。

（2）易得C点坐标，由于沿y轴平移图像，故图像开口大小、对称轴均不变，设出解析式，代入C点坐标即可求解。

（3）由于P点位置不固定，由图6可知要分①当点P在对称轴的右侧时，②当点P在对称轴的左侧，同时在y轴的右侧时，③当点P在y轴的左侧时，三种情况讨论。

解：略。

此题是比较典型的二次函数与几何图形面积相结合的综合性问题，第一，对问题可寻求多种解法。第二，对求二次函数解析式问题，可对条件进行充分的变式，例如：可给出AB=■，OB=2等。第三，可将此题与其他二次函数问题进行联系，形成问题系。

思考：此题是典型的数型结合问题，学生在解答此题时，顺利画出图形是获取解题思路的重要步骤。波利亚在怎样解题的理解题中说：“学生应该专心地、反复地并且从各个方面来考虑题目的主要部分。如果一幅图与该题目有关，他应画一张图并在图上标明未知量与已知数据。”函数问题是数形结合的精典范例，在解题过程中，运用数形结合思想，从图形中，才能获得解题线索。教学实践表明，如果题目有图，学生解答起来比较容易，如果题目没有图形，需学生自己画图，就增加了题目的难度，因此，教学中要注重培养学生的画图能力，从而运用几何直观理解数学，使综合数学问题变得简明、形象，使抽象的数学问题形象化，才能提高学生解题的能力。学生对这类问题对象化后，会在长时记忆中形成此对象的清晰表征，便于需要时提取，同时对此类问题经变式训练可形成简单操作性技能。

四、“局部”过程化

“局部”过程化是指对综合题的局部解题方法进行过程化，使学生对这些过程的表征形成简单操作技能。过程化思想来源于计算机程序设计，在程序设计过程中，有很多程序在执行过程中会遇到同样的一些操作，而这些操作，解决的问题是相同的，只是有些变量的值是不同的，如解一元二次方程的程序，只是系数不同而已，因此在程序设计时，把解一元二次方程的程序可单独编写一个过程，供使用时调用。事实上，综合题虽然复杂多变，但在解题的过程中，是由很多的逻辑段组成的，而这些逻辑段在很多题目中是出现过的，简言之，综合题也是由简单的问题组合而成的。因此把这些动态不变的逻辑段程序化，形成简单操作技能供解题需要时提取，可以提高学生解题的能力。

例5：如图7，在平面直角坐标系XOY中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a>0）经过点A和X轴正半轴上的点B，AO=BO=2，∠AOB=120°。

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连接OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在X轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标。

分析：如图8，此题的第（3）问，点C是X轴上动点，且△ABC与△AOM相似，此类问题是初三数学教学中的一个非常常见的问题，两个三角形相似的分类讨论问题。此题三角形相似需两个条件，而题目中，隐含给一个角相等，∠ABX=∠AOM，而且题目分步引导学生先找到这对角相等，然后分类讨论解答此题。

解：（1）略y=■x2-■x

（2）略，∠AOM=150°；

（3）如图9，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，

∴∠ABO=∠OAB=30°，∴∠ABX=150°；

∴AB=2EO=2■，

∠ABX=∠AOM

当△ABC1∽△AOM，

解得：BC1=2，∴OC1=4，

∴C1的坐标为：（4，0）；

当△C2AB∽△AOM，

解得：BC2=6，∴OC2=8，

∴C2的坐标为：（8，0）.

综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）.

思考：初中数学中的一些基本问题，其变化有一定的规律性，且在综合题中经常出现，解题的思维过程比较固定，表征时可形成一个简单的操作技能，待需要时可快速提取运用于解决问题的过程中。

总之，综合题的解答是教学难点，教学中优化教学策略，指导学生科学合理地对综合题的解题进行表征，优化学生的数学认知结构，才能提高学生的综合分析问题、解决问题的能力，从而提高学生解答综合题的能力。

参考文献

[1] 孔凡哲，曾峥.数学学习心理学.北京：北京大学出版社，2009（3）.

[2] 张学民.实验心理学.北京：北京师范大学出版社，2009.

【责任编辑 付一静】

即∠DOE=45°又因为DF⊥OE，

所以∠OFD=90°

所以∠ODF=45°DF=OF=■，

又因为OD=■

所以DF=OF=■，

又在Rt△DEF中，易得EF=■x，所以

y=■OE·DF=■（0

思考：一是教学中，要培养学生对图形的观察能力，使学生善于从动态变化的图形中通过分类、比较、辨析，探索出图形的动态不变性质。二是要使学生所学的知识能够形成一个稳定的认识结构，提高学生发散思维的变通性。学生解答数学问题要从大脑中提取所需的基本知识（陈述性知识）以及解决问题的基本方法（程序性知识），如果这些知识在大脑中有稳定合理的知识结构，这样，学生提取知识的速度和运用这些知识进行联想思维的能力会大大提高，如上题第三问的解答过程联想到要求出一个角，从而获得解题需要的角度不变性。

三、“典形”对象化

“典形”对象化是指对非常典型的问题，以对象的形式进行表征。面向对象的程序设计是计算机程序设计的最新思想，对象概念是随着人类利用计算机解决问题的复杂程度而产生的，是人类解决复杂问题的基本方法，对象由数据及对数据的处理程序组成，对象的三大特性是封装、继承、多态，一个对象解决一类问题。一是布鲁纳的研究认为：“学习就是类目及其编码系统的形成。一个类目指一组有关的对象或事件，它可以是一个概念，也可以是一条规则。”[1]二是长时记忆的表征理论认为：“人的长时记忆系统的表征并不是杂乱无章的，而是按照一定的规律有组织地储存。人的认知系统可以将大量相似信息组合在一起而形成更有代表性的相对抽象的心理表征，这种心理表征就是概念。”[2]三是学生学习数学知识，运用所学的知识解答数学问题，是比较复杂的一个思维操作过程，需要学生运用表征的数学知识分析问题、解决问题，综合题的复杂程度是可想而知的。把面向对象的思想运用到数学解题的表征上，对象由问题及问题的解决方法组成，封装是指把问题与解决问题的方法表征在一起，组成一个关联的整体，也就是布鲁纳所说的类目。继承是指把问题的已知条件进行等价变形，形成问题域，继承原问题的解决方法。多态是指进行一题多解、一题多变、一题多联。

第一，问题与解决方法封装在一起有利于知识的提取。学生解题时，需从长时记忆中提取信息，当检索到所需要的知识信息时，因为问题与解决问题的方法进行了封装，因此可形成组块被提取，有利于运用此知识信息进行新的信息加工。

第二，对问题的条件进行等价变式，有利于扩大问题的类比入口，从而在类比运用时容易被检索到。波利亚在怎样解题中说“你以前见过此题吗？是否见过形式上略有不同的题？你是否知道与此有关的题？是否知道可用的定理？注意未知！考虑一个你熟悉的未知相同或类似的题目。”运用类比迁移进行解题，是解题教学中的重要思想方法。当对题目条件进行充分变式后，能够扩大题目的类比范围，从而提高典型问题的类比率。

第三，对问题进行一题多解、一题多变、一题多联有利于培养学生的发散性思维能力。一题多解可开阔学生的解决问题的思维，使学生从多角度、多背景、多侧面去理解问题。一题多变可扩大问题本身的作用范围，同时培养学生的应变能力，深化解题思维，总结解题规律，培养创新思维能力，达到举一反三、触类旁通的目的。一题多联可形成问题系，丰富问题的CPFS结构。

例3：如图5，在直角坐标系中，O为原点。点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，

tan∠OAB=2，二次函数y=x2+mx+2的图像经过点A，B，顶点为D。

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）将△OAB绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置。将上述二次函数图像沿y轴向上或向下平移后经过点C。请直接写出点C的坐标和平移后所得图像的函数解析式；

（3）设（2）中平移后所得二次函数图像与Y轴的交点为B1，顶点为D1。点P在平移后的二次函数图像上，且满足△PBB1的面积是△PDD1面积的2倍，求点P的坐标。

分析：（1）二次函数y=x2+mx+2的图像经过点B，易得B点坐标为（0，2），再由tan∠OAB=2求出A点坐标，将二点坐标代入解析式即可求得函数解析式。

（2）易得C点坐标，由于沿y轴平移图像，故图像开口大小、对称轴均不变，设出解析式，代入C点坐标即可求解。

（3）由于P点位置不固定，由图6可知要分①当点P在对称轴的右侧时，②当点P在对称轴的左侧，同时在y轴的右侧时，③当点P在y轴的左侧时，三种情况讨论。

解：略。

此题是比较典型的二次函数与几何图形面积相结合的综合性问题，第一，对问题可寻求多种解法。第二，对求二次函数解析式问题，可对条件进行充分的变式，例如：可给出AB=■，OB=2等。第三，可将此题与其他二次函数问题进行联系，形成问题系。

思考：此题是典型的数型结合问题，学生在解答此题时，顺利画出图形是获取解题思路的重要步骤。波利亚在怎样解题的理解题中说：“学生应该专心地、反复地并且从各个方面来考虑题目的主要部分。如果一幅图与该题目有关，他应画一张图并在图上标明未知量与已知数据。”函数问题是数形结合的精典范例，在解题过程中，运用数形结合思想，从图形中，才能获得解题线索。教学实践表明，如果题目有图，学生解答起来比较容易，如果题目没有图形，需学生自己画图，就增加了题目的难度，因此，教学中要注重培养学生的画图能力，从而运用几何直观理解数学，使综合数学问题变得简明、形象，使抽象的数学问题形象化，才能提高学生解题的能力。学生对这类问题对象化后，会在长时记忆中形成此对象的清晰表征，便于需要时提取，同时对此类问题经变式训练可形成简单操作性技能。

四、“局部”过程化

“局部”过程化是指对综合题的局部解题方法进行过程化，使学生对这些过程的表征形成简单操作技能。过程化思想来源于计算机程序设计，在程序设计过程中，有很多程序在执行过程中会遇到同样的一些操作，而这些操作，解决的问题是相同的，只是有些变量的值是不同的，如解一元二次方程的程序，只是系数不同而已，因此在程序设计时，把解一元二次方程的程序可单独编写一个过程，供使用时调用。事实上，综合题虽然复杂多变，但在解题的过程中，是由很多的逻辑段组成的，而这些逻辑段在很多题目中是出现过的，简言之，综合题也是由简单的问题组合而成的。因此把这些动态不变的逻辑段程序化，形成简单操作技能供解题需要时提取，可以提高学生解题的能力。

例5：如图7，在平面直角坐标系XOY中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a>0）经过点A和X轴正半轴上的点B，AO=BO=2，∠AOB=120°。

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连接OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在X轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标。

分析：如图8，此题的第（3）问，点C是X轴上动点，且△ABC与△AOM相似，此类问题是初三数学教学中的一个非常常见的问题，两个三角形相似的分类讨论问题。此题三角形相似需两个条件，而题目中，隐含给一个角相等，∠ABX=∠AOM，而且题目分步引导学生先找到这对角相等，然后分类讨论解答此题。

解：（1）略y=■x2-■x

（2）略，∠AOM=150°；

（3）如图9，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，

∴∠ABO=∠OAB=30°，∴∠ABX=150°；

∴AB=2EO=2■，

∠ABX=∠AOM

当△ABC1∽△AOM，

解得：BC1=2，∴OC1=4，

∴C1的坐标为：（4，0）；

当△C2AB∽△AOM，

解得：BC2=6，∴OC2=8，

∴C2的坐标为：（8，0）.

综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）.

思考：初中数学中的一些基本问题，其变化有一定的规律性，且在综合题中经常出现，解题的思维过程比较固定，表征时可形成一个简单的操作技能，待需要时可快速提取运用于解决问题的过程中。

总之，综合题的解答是教学难点，教学中优化教学策略，指导学生科学合理地对综合题的解题进行表征，优化学生的数学认知结构，才能提高学生的综合分析问题、解决问题的能力，从而提高学生解答综合题的能力。

参考文献

[1] 孔凡哲，曾峥.数学学习心理学.北京：北京大学出版社，2009（3）.

[2] 张学民.实验心理学.北京：北京师范大学出版社，2009.

【责任编辑 付一静】