玩具中的物理：镶嵌雪花片的滚动轨迹＊

邱为钢 陶 涛 俞嘉玲 王妍妍 林超君

（湖州师范学院理学院，浙江 湖州 313000）

有趣的玩具蕴含不少高深的物理，现象看起来非常简单直观，但分析起来需要普通物理甚至理论物理的知识.本文研究两个镶嵌雪花片在地面上的滚动轨迹.把雪花片（如图1所示）的侧边涂上颜料，在水平地面上滚动起来，颜料就在地面上留下两条对称的轨迹.仔细观察，这两条轨迹具有周期性，即某一特征曲线段周期重复.那么这个周期性轨迹是否具有解析表达式，周期长度与哪些几何（物理）量有关？

图1

由立体几何知识可知

由图2可知OH＝OKsinβ，2OK＝O1K＋O2K.由（1）、（2）两式计算得到质心纵坐标为

图2

镶嵌雪花片的滚动可以分解为质心的平动和饶质心的三维转动.三维转动又可以分解为饶3个方向转动的叠加.取一个在质心的正交坐标系O x y z，第1次绕z轴转动，转动后的坐标轴变为O x′y′z′.第2次的转动方向只能选x′轴方向或y′方向，转动后的坐标轴变为O x″y″z″，第3次转动方向不能与第2次重合，所以总的转轴方向组合只有以下4种：z x′y″，z x′z″，z y′x″，z y′z″.最常用的欧拉转动对应最后一种，而本文中的转动对应第3种，这也是处理这个滚动模型的最重要的突破口.起始时刻圆心连线O1O2与地面平行，选为x轴方向，垂直地面向上为z轴方向，与x轴和z轴都垂直的是y轴方向；绕质心O的转动分解为3个转动的叠加，第1个转动是绕z轴转动φ角度，第2个转动是绕y′轴转动-β角度，第3个转动是绕x″轴转动-ψ角度.借用欧拉角的名义，称φ角为进动角，β角为章动角，ψ角为自转……