不等式恒成立问题

张艳香

不等式恒成立问题一直是高中数学学习的难点，也是高考的热点，试题基本是从函数、数列、不等式等内容的交汇处入手，全面考查对概念的理解和解决问题的综合能力。然不等式恒成立问题在高考中的主要题型有：证明某个不等式恒成立；已知不等式恒成立，求其中的参数的取值范围；存在性问题，即是否存在一个参数的值使已知不等式成立。下面主要从以下几个方面来谈谈我的看法：

一、不等式恒成立与有解的基本区别

1.不等式f（x）＜k在x∈I时恒成立?圳f（x）max＜k，x∈I，或f（x）的上界小于等于k

2.不等式f（x）＜k在x∈I时有解?圳f（x）min＜k，x∈I，或f（x）的下界小于k

3.不等式f（x）＞k在x∈I时恒成立?圳f（x）min＞k，x∈I，或f（x）的下界大于等于k

4.不等式f（x）＞k在x∈I时有解?圳f（x）max＞k，x∈I，或f（x）的上界大于k

不等式恒成立与有解是有明显区别的，以上充要条件应细心甄别差异，恰当使用等价转化，切不可混淆。

二、不等式恒成立问题的基本策略

1.判别式法

对于定义在R上的二次函数的恒成立问题仅用一元二次方程根的判别式即可解决。

2.分离参数法

若能将恒成立不等式中所涉及的两个变量分离，使它们分别在不等式的一边，则可由一个变量的范围推出另一个变量所适合的不等式，进而求得其范围。

3.单调性法

对于在所研究的区间上具有单调性的函数，通过用区间端点处的函数值列不等式求解。

4.最值法

很多不等式恒成立可转化为构造函数，研究新函数的最大（小）值所适合条件的问题。

5.图象特征法

结合函数的图象，利用函数图象的上下位置关系来确定参数的范围.如：不等式x2-logax＜0，在x∈（0，0.5）时恒成立，求a的取值范围。……