现代数学下的渐近线

摘 要：在高中数学教材中就涉及了关于渐近线的知识，例如：正弦函数图象和双曲线的渐近线，但是，并没有给出渐近线的准确定义、分类以及求法。这会造成许多学生对渐近线知识点整体性的缺失，也不利于与高等数学教学的衔接。针对针以上问题利用高等数学的方法解决初等数学所涉及的渐近线问题，帮助高中生更好地了解和运用渐近线的知识。

关键词：渐近线；分类；计算方法

一、渐近线的定义

定义：当曲线C上动点P沿着曲线C无限远移时，若动点P到某直线l的距离无限趋近于0，则称直线l是曲线C的渐近线。

二、渐近线的分类

在中学阶段我们已经学习到了几种类型的渐近线。例如，中学阶段经常涉及到函数f（x）=x+■，它的图象有两条渐近线，分别是直线x=0（y轴）和直线y=x；又如，反比例函数f（x）=■，它的图象同样有两条渐近线，分别是直线x=0（y轴）和直线y=0（x轴）。那么，我们根据渐近线与x轴的位置关系，可将渐近线分为三种类型：水平漸近线（与x轴平行），垂直渐近线（与x轴垂直），斜渐近线（与x轴有个夹角α，且α≠0，α≠■）。接下来，我们利用极限的知识给出三种类型渐近线的定义意义及根据定义求解渐近线的方法。

1.水平渐近线与垂直渐近线

若■f（x）=b或■f（x）=b，则直线y=b是曲线y=f（x）的水平渐近线。

若■f（x）=∞或■f（x）=∞，则直线y=b是曲线y=f（x）的垂直渐近线。

例：求曲线f（x）=■+3的渐近线

解：因为■f（x）=■■+3=3，故直线y=3是曲线y=f（x）的水平渐近线.

以■f（x）=■■+3=∞，故直线x=2是曲线y=f（x）的水平渐近线.

2.斜渐近线

在高中阶段斜渐近线出现的频率非常高，它不像水平渐近线和垂直渐近线那样，可以轻松地写出渐近线的方程，下面以双曲线的渐近线为例，来探索斜渐近线方程的求解方法。……