关于一道选择题的探索与反思

汪道林

一、问题提出

《中学数学教学参考》2005年第1—2合刊第54页有这样一道选择题：

已知a>1，则函数f（x）=logax的图象与其反函数y=f-1（x）的图象 （ ）

A.不可能有公共点

B.不可能只有一个公共点

C.最多只有一个公共点

D.最多只有两个公共點

本人把这道题给某市示范学校高二年级的学生做，70%的学生不假思索地选择了A答案，我也曾把这道题在数学教育硕士班与同行们交流，也有不少老师感到疑惑和棘手。

二、问题解决

1.建立模型

我们先利用几何画板4.05绘制可改变底数a大小的y=ax的图象，同时作出关于直线y=x对称的函数图象，即y=logax图象。建立步骤如下：

（1）建立平面直角坐标系并隐藏网格；

（2）利点工具构造菜单画出与y轴垂直的任意长线段BD；

（3）分别选中点D和x轴上任一点E，利用度量横坐标命令，分别度量出D、E点的横坐标，并分别将标签记为a和x；

（4）利用“图表绘制点（x，y）”命令，绘制点F（x，ax）；

（5）同时选中点E和点F，利用“构造轨迹”命令，构造出函数y=ax的图象；

（6）在同一坐标中，很容易再构造出关于y=x对称的y=logax图象。

2.观察分析

三、解后反思

从以上分析可知，答案应该选D，这原本是一道常识性问题，但大多数学生却很陌生，经过分析，可能有以下一些原因。

1.中学教材的编写有时也有问题，现行教材上一提到指数函数与对数函数图象时，总是把它们画成不相交的情形，也没有作出说明。

2.广大的一线老师在教学过程中对教材缺乏深入研究，没有对教材进行深加工和再创造，教学过程往往是照搬课本。

3.从某种程度上讲，大多数学生不会学习，不能发现问题，做练习往往还是就题论题，不反思，不会举一反三，没有从题海中走出来。