Dini定理的推广

项首先

（云南大学数学系 云南 昆明 650031）

摘 要：对Dini定理进行了推广， 得到了有界闭区间上函数序列一致收敛的充分必要条件。

关键词：Dini定理； 函数列； 单调； 一致收敛

1.预备知识

Dini定理在函数列的收敛性的证明与应用中有着重要的意义，本文将给出Dini定理的两个推广， 并给出相应的证明。 在本节中我们将给出本文应用到的定义与引理。

定义1[1] 设函数列fn与函数f定义在同一数集D上， 若对任给的正数， 总存在某一正整数N， 使得当n>N时， 对一切的x∈D， 都有

fn（x）-f（x）<ε，

则称函数列fn在D上一致收敛于f， 记作

fn（x）f（x）（n→∞），x∈D。

引理2[2] 设存在R>0， 对任意y∈Y，f（x，y）均关于x在R，+∞内递增（或递减），则当x→+∞时， f（x，y）关于y在点集Y上一致收敛于φy的充要条件是fn，y在Y上一致收敛于φy。

引理3[3] （Dini定理）设连续函数序列fnx在有限区间a，b上逐点收敛于连续函数fx， 且对任何x∈a，b， 数列fnx都是单调数列， 则fnx 于a，b上一致收敛于fx。

引理4 [4] 设a，bR是一有界闭区间， n∈N，fn：a，b|→R是连续函数， 且满足下述条件：

（1） n∈N，fnx在a，b上是单调的；

（2） 函数序列fn在a，b上逐点收于连续函数f：a，b|→R，

那么， 函数序列fnx在a，b上一致收敛于fx。

2.主要结果

Dini定理适合于判断单调函数序列的一致收敛性， 对于不具有单调性的函数序列其一致收敛性的讨论有如下定理。

定理5 设函数序列fnx在数集D上点态收敛于fx， 则fnx在D上一致收敛的充分必要条件是， 对任意数列xnD，

limn→∞fnxn-fxn=0

成立。

证明 先证必要性。 设fnx在D上一致收敛于fx， 则

limn→∞supx∈Dfnx-fx=0，

于是， 对任意的数列xnD有

0≤fnxn-fxn≤supx∈Dfnx-fx→0n→∞。

所以， limn→∞fnxn-fxn=0。

再证充分性， 假设fnx在D上不一致收敛于fx， 则按定义有，ε0>0， N>0， n>N， x∈D， 使得

fnx-fx≥ε0。

于是， 下述步骤可依次进行：

取N1=1， n1>1， xn1∈D： fn1xn1-fxn1≥ε0；

取N2=n1， n2>n1， xn2∈D： fn2xn2-fxn2≥ε0；

……

取Nk=nk-1， nk>nk-1， xnk∈D：fnkxnk-fxnk≥ε0；

……

对于m∈N+＼n1，n2，…，nk，…， 可任取xm∈a，b， 这样就得到数列xnD， 由于它的子列xnk使得fnkxnk-fxnk≥ε0。