职业学校数学应用题解题策略浅析

韦余芹

摘 要：应用题能考查学生对数学知识的灵活转化和实际应用的能力，能全面体现职高学生的数学综合素质，所以很受试卷命题人的青睐，并成为每年单招高考题的必备题型。因此，对应用题的考查必须给予更多的重视，要引导学生深入生活，在了解数学问题的同时不断扩大知识面，这样才能在解决问题时立于不败之地。

关键词：数学应用题；函数；数列；圆锥曲线

一、函数类应用题建立函数关系是关键

现实世界中普遍存在的所谓“最优化”问题，诸如成本最低，利润、产出最大，效益最好等应用问题，常常可以归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用数学知识和方法去解决。

例.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可销售100件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法，增加利润，已知这种商品每件涨价1元，其销售数量就减少10个，问他将售价定为多少时，方能赚得利润最大？并说明理由。建模过程如下：

（1）审题并将实际问题转化为数学模型：设每件提价x元，（x≥0），利润为y元，则每天销售额为（10+x）（100-10x）元，进货总价为8（100-10x），故0≤x≤10。

∵利润=销售总价-进货总价

∴有y=（2+x）（100-10x）（0≤x≤10）。

即原问题转化为数学模型：二次函数的最值问题。

（2）对数学模型求解：

y=（2+x）（100-10x）

=-10（x-4）2+360 （0≤x≤10）

当x=4时 ymax=360

（3）回归实际问题：故当售出价每件14元时，每天所赚利润最大为360元。

二、数列应用题

数列知识除在个人投资理财方面有较为广泛的应用外，在企业经营管理上也是不可或缺的。虽然这些应用题是从实际生活中抽象出来的略高于生活的问题，但他们是数学习题中最能反映数学知识与实际生活关系密切的一类问题。因此，解答应用问题有助于我们对数学在日常生活中的广泛应用的理解和认识。如，按揭货款中的数列问题。

例.用分期付款的方式购买价格为1150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，再加上欠款的利息（月利息为1%）若一个月后付第一个月的分期付款，那么第10个月该付多少钱？购冰箱钱全部付清后，实际共付多少元？分析：付款情况分述如下：

先付款150（元）

第一次分期付款：a1=50+（1150-150）×1%=60（元）

第二次分期付款：a2=50+（1150-150-50）×1%=59.5（元）

第三次分期付款：a3=50+（1150-150-50×2）×1%=59（元）

第n次分期付款：an=50+[1150-150-（n-1）50]×1%=60-（n-1）。（n∈[1，20]，n∈N）

三、圆锥曲线类应用题

解答圆锥曲线的应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化。要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答。下面举例说明：

例.某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图所示）已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工。

分析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP、BP到P同样远。

显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点则有MA+PA=MB+PB

于是MA-MB=PB-PA=150-100=50

从而发现第三类点M满足性质：点M到点A与点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程。

于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工。

数学教育家弗赖登搭尔从数学教育学的特点出发，提出了“数学源于现实，扎根于现实，应用于现实。”①的教学原则，在数学教学中，把数学知识与生活、学习、活动有机地结合起来，通过收集资料、动手操作、合作讨论等活动，让学生真正感受到数学在生活中无处不在，获得探索数学的体验，提高利用数学解决实际问题的能力，让生活数学化。如，我们可指导学生以小组合作为形式制作长方体形状的包装纸盒，利用已学过的长方体的表面展开图的知识、美术知识、语言知识、生产常识对长方体和它的表面进行探究。以此激发学生探索的欲望，并通过小组合作自我解决问题，提高了自己运用知识解决实际问题的能力，切实体会数学与生活的密切联系，从而激发学生热爱数学，建立学好数学的信心，更好地做好数学应用题。

参考文献：

[1]方建成.对“数学建模”的再思考[J].数学通报，2001（01）.

[2]薛治刚.高中数学应用题[M].吉林科学技术出版社，1998（11）.

[3]沈文选.数学建模[M].湖南师大出版社，1999-07.

[4]叶其孝.中学数学建模[M].湖南教育出版社，1997-11.

Vocational School Mathematics Word Problems Shallow of Problem-solving Strategies

Wei Yuqin

Abstract：the application can test students mathematics knowledge conversion of flexible and practical application ability，can fully reflect high vocational students mathematical quality，so it was very popular with the paper proposition people，and become the essential topic each year for the university entrance exam questions，therefore，to investigate the problems must be given more attention，to guide students into the thick of life，in the understanding of math problems at the same time continuously expanded aspect of knowledge，such ability in solving problems in an impregnable position.

Key words：mathematics word problems；Functions；The sequence；conic

编辑 薛直艳

摘 要：应用题能考查学生对数学知识的灵活转化和实际应用的能力，能全面体现职高学生的数学综合素质，所以很受试卷命题人的青睐，并成为每年单招高考题的必备题型。因此，对应用题的考查必须给予更多的重视，要引导学生深入生活，在了解数学问题的同时不断扩大知识面，这样才能在解决问题时立于不败之地。

关键词：数学应用题；函数；数列；圆锥曲线

一、函数类应用题建立函数关系是关键

现实世界中普遍存在的所谓“最优化”问题，诸如成本最低，利润、产出最大，效益最好等应用问题，常常可以归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用数学知识和方法去解决。

例.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可销售100件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法，增加利润，已知这种商品每件涨价1元，其销售数量就减少10个，问他将售价定为多少时，方能赚得利润最大？并说明理由。建模过程如下：

（1）审题并将实际问题转化为数学模型：设每件提价x元，（x≥0），利润为y元，则每天销售额为（10+x）（100-10x）元，进货总价为8（100-10x），故0≤x≤10。

∵利润=销售总价-进货总价

∴有y=（2+x）（100-10x）（0≤x≤10）。

即原问题转化为数学模型：二次函数的最值问题。

（2）对数学模型求解：

y=（2+x）（100-10x）

=-10（x-4）2+360 （0≤x≤10）

当x=4时 ymax=360

（3）回归实际问题：故当售出价每件14元时，每天所赚利润最大为360元。

二、数列应用题

数列知识除在个人投资理财方面有较为广泛的应用外，在企业经营管理上也是不可或缺的。虽然这些应用题是从实际生活中抽象出来的略高于生活的问题，但他们是数学习题中最能反映数学知识与实际生活关系密切的一类问题。因此，解答应用问题有助于我们对数学在日常生活中的广泛应用的理解和认识。如，按揭货款中的数列问题。

例.用分期付款的方式购买价格为1150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，再加上欠款的利息（月利息为1%）若一个月后付第一个月的分期付款，那么第10个月该付多少钱？购冰箱钱全部付清后，实际共付多少元？分析：付款情况分述如下：

先付款150（元）

第一次分期付款：a1=50+（1150-150）×1%=60（元）

第二次分期付款：a2=50+（1150-150-50）×1%=59.5（元）

第三次分期付款：a3=50+（1150-150-50×2）×1%=59（元）

第n次分期付款：an=50+[1150-150-（n-1）50]×1%=60-（n-1）。（n∈[1，20]，n∈N）

三、圆锥曲线类应用题

解答圆锥曲线的应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化。要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答。下面举例说明：

例.某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图所示）已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工。

分析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP、BP到P同样远。

显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点则有MA+PA=MB+PB

于是MA-MB=PB-PA=150-100=50

从而发现第三类点M满足性质：点M到点A与点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程。

于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工。

数学教育家弗赖登搭尔从数学教育学的特点出发，提出了“数学源于现实，扎根于现实，应用于现实。”①的教学原则，在数学教学中，把数学知识与生活、学习、活动有机地结合起来，通过收集资料、动手操作、合作讨论等活动，让学生真正感受到数学在生活中无处不在，获得探索数学的体验，提高利用数学解决实际问题的能力，让生活数学化。如，我们可指导学生以小组合作为形式制作长方体形状的包装纸盒，利用已学过的长方体的表面展开图的知识、美术知识、语言知识、生产常识对长方体和它的表面进行探究。以此激发学生探索的欲望，并通过小组合作自我解决问题，提高了自己运用知识解决实际问题的能力，切实体会数学与生活的密切联系，从而激发学生热爱数学，建立学好数学的信心，更好地做好数学应用题。

参考文献：

[1]方建成.对“数学建模”的再思考[J].数学通报，2001（01）.

[2]薛治刚.高中数学应用题[M].吉林科学技术出版社，1998（11）.

[3]沈文选.数学建模[M].湖南师大出版社，1999-07.

[4]叶其孝.中学数学建模[M].湖南教育出版社，1997-11.

Vocational School Mathematics Word Problems Shallow of Problem-solving Strategies

Wei Yuqin

Abstract：the application can test students mathematics knowledge conversion of flexible and practical application ability，can fully reflect high vocational students mathematical quality，so it was very popular with the paper proposition people，and become the essential topic each year for the university entrance exam questions，therefore，to investigate the problems must be given more attention，to guide students into the thick of life，in the understanding of math problems at the same time continuously expanded aspect of knowledge，such ability in solving problems in an impregnable position.

Key words：mathematics word problems；Functions；The sequence；conic

编辑 薛直艳

摘 要：应用题能考查学生对数学知识的灵活转化和实际应用的能力，能全面体现职高学生的数学综合素质，所以很受试卷命题人的青睐，并成为每年单招高考题的必备题型。因此，对应用题的考查必须给予更多的重视，要引导学生深入生活，在了解数学问题的同时不断扩大知识面，这样才能在解决问题时立于不败之地。

关键词：数学应用题；函数；数列；圆锥曲线

一、函数类应用题建立函数关系是关键

现实世界中普遍存在的所谓“最优化”问题，诸如成本最低，利润、产出最大，效益最好等应用问题，常常可以归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用数学知识和方法去解决。

例.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可销售100件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法，增加利润，已知这种商品每件涨价1元，其销售数量就减少10个，问他将售价定为多少时，方能赚得利润最大？并说明理由。建模过程如下：

（1）审题并将实际问题转化为数学模型：设每件提价x元，（x≥0），利润为y元，则每天销售额为（10+x）（100-10x）元，进货总价为8（100-10x），故0≤x≤10。

∵利润=销售总价-进货总价

∴有y=（2+x）（100-10x）（0≤x≤10）。

即原问题转化为数学模型：二次函数的最值问题。

（2）对数学模型求解：

y=（2+x）（100-10x）

=-10（x-4）2+360 （0≤x≤10）

当x=4时 ymax=360

（3）回归实际问题：故当售出价每件14元时，每天所赚利润最大为360元。

二、数列应用题

数列知识除在个人投资理财方面有较为广泛的应用外，在企业经营管理上也是不可或缺的。虽然这些应用题是从实际生活中抽象出来的略高于生活的问题，但他们是数学习题中最能反映数学知识与实际生活关系密切的一类问题。因此，解答应用问题有助于我们对数学在日常生活中的广泛应用的理解和认识。如，按揭货款中的数列问题。

例.用分期付款的方式购买价格为1150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，再加上欠款的利息（月利息为1%）若一个月后付第一个月的分期付款，那么第10个月该付多少钱？购冰箱钱全部付清后，实际共付多少元？分析：付款情况分述如下：

先付款150（元）

第一次分期付款：a1=50+（1150-150）×1%=60（元）

第二次分期付款：a2=50+（1150-150-50）×1%=59.5（元）

第三次分期付款：a3=50+（1150-150-50×2）×1%=59（元）

第n次分期付款：an=50+[1150-150-（n-1）50]×1%=60-（n-1）。（n∈[1，20]，n∈N）

三、圆锥曲线类应用题

解答圆锥曲线的应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化。要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答。下面举例说明：

例.某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图所示）已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工。

分析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP、BP到P同样远。

显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点则有MA+PA=MB+PB

于是MA-MB=PB-PA=150-100=50

从而发现第三类点M满足性质：点M到点A与点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程。

于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工。

数学教育家弗赖登搭尔从数学教育学的特点出发，提出了“数学源于现实，扎根于现实，应用于现实。”①的教学原则，在数学教学中，把数学知识与生活、学习、活动有机地结合起来，通过收集资料、动手操作、合作讨论等活动，让学生真正感受到数学在生活中无处不在，获得探索数学的体验，提高利用数学解决实际问题的能力，让生活数学化。如，我们可指导学生以小组合作为形式制作长方体形状的包装纸盒，利用已学过的长方体的表面展开图的知识、美术知识、语言知识、生产常识对长方体和它的表面进行探究。以此激发学生探索的欲望，并通过小组合作自我解决问题，提高了自己运用知识解决实际问题的能力，切实体会数学与生活的密切联系，从而激发学生热爱数学，建立学好数学的信心，更好地做好数学应用题。

参考文献：

[1]方建成.对“数学建模”的再思考[J].数学通报，2001（01）.

[2]薛治刚.高中数学应用题[M].吉林科学技术出版社，1998（11）.

[3]沈文选.数学建模[M].湖南师大出版社，1999-07.

[4]叶其孝.中学数学建模[M].湖南教育出版社，1997-11.

Vocational School Mathematics Word Problems Shallow of Problem-solving Strategies

Wei Yuqin

Abstract：the application can test students mathematics knowledge conversion of flexible and practical application ability，can fully reflect high vocational students mathematical quality，so it was very popular with the paper proposition people，and become the essential topic each year for the university entrance exam questions，therefore，to investigate the problems must be given more attention，to guide students into the thick of life，in the understanding of math problems at the same time continuously expanded aspect of knowledge，such ability in solving problems in an impregnable position.

Key words：mathematics word problems；Functions；The sequence；conic

编辑 薛直艳