高速公路收费站车辆到达分布的拟合检验

彭真

何丽红

（兰州大学管理学院，兰州730000）

0 引言

高速公路是社会经济发展的必然产物。上世纪80年代，我国高速公路实现了零的突破以后进入快速发展阶段；2003年年末我国高速公路突破3万公里，高速公路通车里程仅次于美国，居于世界第二位；2011年年末，我国高速公路突破8.49万公里，超过美国的7.544万公里，居于世界首位。毋庸置疑的是高速公路的建设对改善我国公路运行状况、提高我国公路运输能力及运输效率、满足人民出行需求都起到了巨大的作用。但不容忽视的是人们经常见到的一些不尽如人意的现象：一方面很多时候高速公路上的车流量并不大，但高速公路收费站的服务台却是满负荷运作，这无疑是对资源的一种浪费；另一方面，还有很多时候高速公路上车流量过大而高速公路服务站根本忙不过来，这样就造成了高速公路收费站“排长龙”和“车辆爬行”的现象。

为了解决上述问题，实现在最大限度上节约高速公路收费站的运营成本并提高其运行效率的目的，专家学者运用 M/G/K、M/M/C、M/M/1 以及 M/D/1 等模型[1-4]，对不同时段、不同车辆到达率的情况下收费站最优的服务台开放数量进行了研究。尽管这些研究从理论上给出了解决方案，但是这些解决方案都有一个共同的理论假设前提，即高速公路收费站的车辆到达过程服从泊松分布。因此，上述研究给出的理论方案是否具有实际的应用价值在很大程度上取决于这些研究所依赖的理论假设是否成立。

目前国内关于高速公路收费站车辆到达过程的研究相对较少。其中，文献5通过对20分钟内高速公路收费站上游的车头时距分布进行卡方检验，指出高速公路收费站的来车分布服从负指数分布。文献6根据交通流理论直接指出在交通量小的高速公路路段，到达高速公路收费站的车辆分布符合泊松分布；在交通流比较大的高速公路路段，到达高速公路收费站的车辆分布符合二项分布。文献7针对车辆到达高速公路收费站的随机性，详细介绍了如何运用概率论中离散型分布工具和连续性分布工具对这种随机性的统计规律进行描述。然而，上述研究中关于高速公路收费站车辆到达过程分布的检验方法过于笼统，或停留在对检验方法的理论陈述，缺乏实际的算例分析及数据支撑；或直接给出检验的结果，缺乏对检验方法具体步骤的详细介绍。

鉴于此，本文通过对兰州柳忠高速公路天水北路收费站的车辆到达过程进行实地调查，以1分钟为单位时间间隔，以1小时为1个样本观测时段，获取了该收费站车辆到达的实际数据，并运用χ2检验法对高速公路收费站车辆到达过程分布进行了拟合检验。

1 拟合检验方法

为了对在时间间隔t内出现的事件流X（t）是否服从泊松分布进行拟合检验，这里首先对χ2检验法的具体检验步骤介绍如下：

第一步：观测长为t的时间间隔内事件A发生的次数，并记为 X（t）。

第二步：将上述观测重复进行m次，记Ai={X（t）=i}（i=0，1，2，…n）为一个样本观测时段中事件A发生i次这个事件，A0，A1，A2，…，An在 m 次观测中出现的频数分别为

第三步：将事件流X（t）服从泊松分布P（λ）的假设转化为如下原假设：

第四步：对未知参数λ采用极大似然估计，得到：

第五步：将λ*带入（1）式估计出，进而计算检验统计量

第六步：计算给定显著性水平α下H0的拒绝域上限

因为在H0成立时，检验统计量χ2近似服从自由度为n*-k-1的 χ2分布，其中 n*是对 i在[0，+∞）上进行分组时的组数，由文献8可知：运用χ2检验法检验母体分布时，要求各组的理论频数不得小于5；k为未知变量的个数。由于泊松分布中的未知变量只有λ，即此处k为1，所以在H0成立时χ2近似服从自由度为n*-2的χ2分布。

第七步：比较检验统计量χ2与原假设的拒绝域上限，可得到如下统计决策：

2 数据采集与处理

通过实地调查，本文获取了柳忠高速公路天水北路收费站2013年10月18日早8点到晚21点连续13小时车辆到达的实际数据。

考虑到检验时间间隔t内事件A发生的次数是否服从泊松分布需要t很小，以及高速公路收费站对出入口车辆的数量统计最小只能精确到分钟的实际情况，本文采用的时间间隔t为1分钟。若以1分钟为单位时间间隔，用i表示单位时间间隔内到达高速公路收费站的车辆数（单位：辆）；以每小时为1个样本观测时段，用mi表示事件Ai（此处Ai表示1分钟内到达高速公路收费站的车辆数为i这个事件）在60次观测中出现的次数，则本文采集到的原始数据如表1所示。

表1 柳忠高速公路天水北路收费站车辆到达实际频数统计

表1不仅给出了柳忠高速公路天水北路收费站各观测时段车辆到达的实际频数分布，而且由表1可知柳忠高速公路天水北路收费站各观测时段车辆到达总数是不一样的，且存在比较明显的高峰期和低谷期。车辆到达总数的最大值出现在9点-10点时段，车辆总数为938辆/小时，车辆到达总数的最小值出现在20点-21点时段，车辆总数为371辆/小时。

3 结果分析

这里按照χ2检验步骤对兰州柳忠高速公路天水北路收费站2013年10月18日早9点-10点1小时内车辆到达实际数据进行拟合检验。由文献[8]可知在运用拟合检验之前，待验证的样本容量应满足大于等于50的条件，本文以每小时为1个样本观测时段，样本容量是60，显然满足此条件。

首先，根据表1中所给出的9点-10点这个样本观测时段车辆到达实际频数的统计数据，由（2）式计算得到λ*=15.6333。其次，将λ*带入（1）式估计出。然后，基于理论频数不得小5的要求对i进行分组，具体分组情况如表2所示。最后，由（3）式计算出检验统计量χ2=9.2647，具体计算过程见表2。

表2 柳忠高速公路天水北路收费站9点-10点原始观测数据的分组及计算结果

由表2可知，分组数为7，所以，在H0成立时χ2近似服从自由度为5的χ2分布。若给定显著性水平为α=0.05，则可计算得到原假设的拒绝域上限为11.0705。最后，通过比较检验统计量χ2与原假设的拒绝域上限因为此处有，所以不拒绝原假设，即认为高速公路收费站9点-10点的车辆到达过程服从均值为15.6333的泊松分布。

同样地，若分别对柳忠高速公路天水北路收费站2013年10月18日其他12个时段的观测数据进行拟合检验，所得检验结果如表3所示，可以看出：在不同显著性水平下，各观测时段高速公路收费站的车辆到达过程均服从泊松分布。

表3 柳忠高速公路天水北路收费站不同观测时段车辆到达分布的检验结果

4 结论

为了检验“高速公路收费站的车辆到达过程服从泊松分布”这一假设，对兰州市柳忠高速公路天水北路收费站2013年10月18日早8点到晚21点车辆到达的实际数据进行了统计分析，并以此为基础，进行了拟合检验。拟合检验结果表明：若以1分钟为单位时间间隔，1小时为样本观测时段，则检验结果显示“高速公路收费站的车辆到达过程服从泊松分布”的假设是成立的。

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