基于UKF的GPS L1C／A码微弱信号跟踪算法＊

（1.南京航空航天大学能源与动力学院 南京 210016）（2.东南大学仪器科学与工程学院 南京 210096）（3.南京邮电大学自动化学院 南京 210046）

1 引言

微弱信号下L1 信号跟踪是实现高灵敏度GPS软件接收机的关键技术之一。卡尔曼在1960年发表了著名的用递归方法解决离散数据线性滤波问题的论文。这种将期望和方差线性化的卡尔曼滤波器称作扩展卡尔曼滤波器，简称为EKF（Extended Kalman Filter）。但是EKF 滤波结果的好坏与状态噪声和观测噪声的统计特性有关且容易导致滤波发散；其中雅可比矩阵的计算过于复杂，对GPS软件接收机实时性的影响很大。

20世纪90年代，Julier等人提出了基于Unscented 变换的 Unscented 卡尔曼滤波算法（UKF）。UKF 是一种容易实现且高效的滤波算法。因此，本文参考文献［5］提出的模型，使用UKF来代替EKF实现微弱信号的码和载波跟踪，以避免在跟踪环中使用EKF 方法所存在的问题。通过构建模型、建立方程，采用仿真噪声干扰下的微弱中频信号对该算法进行性能分析。实验结果表明，基于UKF的跟踪算法可以明显提高信号跟踪的灵敏度。

2 基于UKF的L1C／A 码信号跟踪算法

通常的独立接收机能跟踪信号的载噪比在35dB-Hz以上，当信号的载噪比低于35dB-Hz时，PLL会因为鉴相器的非线性和信号相位的动态变化而失锁。卡尔曼滤波器具有时间递推的特点，是一种非常高效的优化算法。下面将基于UKF估计技术设计一个DLL和PLL 联合的码和载波跟踪环，用来跟踪弱GPS L1C／A 码信号，如图1所示。

图1 基于UKF滤波的弱信号跟踪环结构

2.1 系统模型的构建

软件接收机射频前端中输出的数字信号模型表示为

其中，yk是在采样时间tk时，RF前端的输出。A（tk）是信号的幅度。函数d（t）是GPS数据流，每20ms随机切换。函数c（t）是接收到的信号中的C／A 码，码率为1.023MHz。ts是PRN 码的起始时间，是码相位延迟的被测量。频率ωIF是归一化的中频。ωD是载波信号的多普勒频移。角度φ0是初始载波相位。vk项是均值为0的离散高斯白噪声序列，方差为δ2n。

接收机接收到的信号和本地复制的码和载波信号之间的相关积分，可以表示如下：

其中Ik（Δ）和Qk（Δ）分别是同相和正交积分，Δ＞0为早码，Δ＜0为晚码。CL（t）是接收机本地复制的伪码。tLk是即码的起始时间。每个积分的长度都是一个PRN码周期。φL（t）是本地复制载波的相位。

为了在下面的滤波中使用相关积分，将其表示成如下形式：

2.2 系统的观测方程

卡尔曼滤波器使用在一个导航数据比特周期范围的即码和早减晚码积分，形成一个式（6）的观测矢量：

其中gv是第v个导航数据间隔中第一个数据位的索引，Nv是第v个间隔中所包含的采样点的个数。为了将观测矢量与状态矢量结合起来，将观测矢量表示为

其中是在比特间隔内的平均载波幅度，Δφm是在比特间隔内的平均载波相位误差，Δtm＝ts（tmidk）-tmidk是在比特间隔中点的码相位误差tmidk＝（tNCOkm＋tNCOkm＋20）／2。nm是一个均值为零且互不相关的高斯离散白噪声向量序列，方差为4×4的一个恒等矩阵，nm的协方差R可以表示为如下形式：

其中，λ＝2［1-R（Δeml）］。

2.3 系统的状态方程

式（9）为载波跟踪环的状态方程，其中［φωd］T是被估计的状态向量，φ代表接收到的载波与本地载波的相位误差，ωd代表信号中的多普勒频移，˙ωd代表多普勒频移的变化率，ωL是本地复制信号的载波多普勒频移，δtk是相干积分时间。wk＝［wφwωw˙ωwj］T是离散的零均值的高斯白噪声向量，wk的协方差Q由如下三个部分组成：

其中QLOS是接收机与卫星的相对运动加速度的随机误差强度系数。Qf＝，Sf是接收机的频率随机误差强度系数。Qθ＝，Sg是接收机的相位随机误差强度系数。ωL1是归一化的L1载波频率。对于TCXO 一般取Sf＝5×10-21和Sg＝5.9×10-20s-1。则积分间隔内的平均载波相位误差可以表示为

码跟踪环的状态方程建立如下［4］：

其中tsk＋1和tsk是接收信号中码起始和结束时间。wtsk的协方差E（）＝δtkqts是白噪声序列，qts是随机变化强度。则积分间隔内的平均码相位误差可以表示为

载波幅度的状态方程建立如下：wAk是零均值的高斯白噪声，它的方差qA是随机变化的强度。则积分间隔内的平均载波幅度可以表示为

3 UKF跟踪的实现

初始化：

扩展之后的初始向量和方差，表示为

计算sigma点：

其中k∈｛0，…，∞｝

时间更新：

测量更新：

其中，xa＝［xTvTnT］T，χa＝［（χx）T（χv）T（χn）T］T，合成尺度参数λ＝L（10-6-1），L是增广状态变量的维数，Pv是处理噪声协方差，Pn是测量噪声协方差，Wi是权值。

4 仿真与性能分析

本文采用仿真噪声干扰下的微弱GPS C／A 中频信号，中频频率设置为1.405MHz。信号的采样频率设置为5.714MHz。初始相位误差设置为［-π，＋π］之间的随机变量。多普勒频移的范围设置为［-10kHz，＋10kHz］。多普勒频移的误差设置为［-200Hz，＋200Hz］。取Sf＝5×10-21和Sg＝5.9×10-20s-1的TCXO 时钟，验证UKF载波跟踪环的性能。实验中，信号载噪比取为15dB-Hz和45dB-Hz两个值。实验分三个部分：UKF 算法对载波相位跟踪的改善、UKF 算法对载波频率跟踪性能的改善、UKF 算法对码相位的跟踪性能的改善。

图2为在信噪比为15dB-Hz和45dB-Hz的情况下，基于UKF 跟踪与基于传统Atan鉴相器跟踪的载波相位跟踪误差。从图中可以看出在15dB-Hz的情况下，传统跟踪方法的跟踪误差在-0.2～＋0.2 个载波周期之间。而UKF 的跟踪误差在-0.05～＋0.05个载波周期之间。在载噪比为45dB-Hz的时候UKF 的载波相位跟踪误差明显小于传统方法。

图2 传统跟踪环和UKF的载波相位跟踪误差

图3为在信噪比为15dB-Hz和45dB-Hz的情况下，基于UKF跟踪与基于传统的归一化早减晚功率码鉴相器DLL跟踪的码相位跟踪误差。从图中可以看出在15dB-Hz的情况下，传统跟踪方法的跟踪误差已经超出了0.5 个码片的范围。而UKF的跟踪误差在-0.2～＋0.2 个码片之间。在载噪比为45dB-Hz的时候，UKF 的码相位跟踪误差明显小于传统方法。

图3 传统跟踪环和UKF的码相位跟踪误差

图4 传统跟踪环和UKF的多普勒频移跟踪误差（15dB-Hz）

图4为在信噪比为15dB-Hz的情况下，基于UKF跟踪与基于传统的Atan鉴相器跟踪的载波多普勒频移误差。从图中可以看出，传统跟踪方法的跟踪误差在-100Hz～＋100Hz的范围之内波动，而UKF的跟踪误差在-20Hz～＋20Hz之间。

图5 传统跟踪环和UKF的多普勒频移跟踪误差（45dB-Hz）

图5为在载噪比为45dB-Hz 的时候，基于UKF跟踪与基于传统的Atan鉴相器跟踪的载波多普勒频移误差，从图中可以看出UKF 的多普勒频移跟踪误差明显小于传统方法。

实验结果表明：微弱信号条件下，UKF 载波跟踪环路都能在较短时间内收敛，UKF 跟踪算法有效减小了码和载波跟踪中的误差。

5 结语

针对在低载噪比情况下常用的码跟踪DLL 和载波跟踪PLL 误差较大的情况，本文提出一种基于UKF的GPS L1C／A 码微弱信号跟踪算法。仿真实验结果表明，采用UKF简化了计算的复杂度，提高了跟踪灵敏度和精度，是一种适合于软件接收机实现的算法。相对于传统的跟踪环路，基于UKF的载波跟踪环路的跟踪灵敏度和跟踪精度都有明显提高。

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