突出对考生能力的考查
——2014年高考数学试题述评

李锦昱 杨玉昌 程香华

突出对考生能力的考查
——2014年高考数学试题述评

李锦昱 杨玉昌 程香华

本文对2014年全国高考数学试卷进行了整体评价，并以全国课标Ⅰ卷为蓝本，详细分析了高考试题的优缺点。针对近年特别是2014年部分省市试题存在的问题与不足，对今后高考命题提出了改进建议。

高考；数学；述评

1 整体评价

2014年全国高考共有19套数学试卷，其中教育部考试中心命制3套，省市自主命题16套。各套试卷遵循《考试大纲》的各项要求，试卷结构保持稳定，难易适度，有较好的信度和效度。试题科学、规范，各种难度的试题比例适当，有较好的区分度。答案和评分参考准确、合理。试卷考查基础知识、基本技能、基本思想方法和基本生活经验，坚持重点内容重点考查，注重知识间的内在联系，对于中学教学具有很好的导向作用。试卷以能力立意为核心，全面考查各项数学能力，重点考查学生对数学本质的理解及思维能力和创新意识，突出考查应用能力。考查应用能力的试题设计新颖、更加贴近现实、贴近考生的实际，具有时代气息。2013年绝大部分数学试卷注重文理科在考试内容、能力和要求上的差异。各份试卷有利于中学实施素质教育，有利于促进学生健康成长，有利于科学选拔人才，有利于维护社会公平。下面重点以全国课标Ⅰ卷为蓝本，对试题进行评析。

2 试题特点

整套试卷没有偏难怪题，试题既注重对主干知识点的覆盖，也让课标新增的内容如算法、三视图、统计概率等得到充分体现。

2.1 整卷比往年易，梯次分明，侧重“双基”

文理试卷均大幅降低了难度，全卷由易到难、层次分明。大多数题目虽给人的直观感觉是朴实无华，但考查的广度、深度拿捏的恰到好处。例如Ⅰ卷理科试卷（1）～（5）、（7）、（13）、（14）、（17）都是考查基础知识基本技能，属于基本题，而（6）、（8）～（12）、（15）、（16）、（19）～（21）则重点考查学生对数学本质的理解和灵活运用知识分析问题、解决问题的能力，有难度，其余中等难度题目，重点考查基本技能、基本能力。

2.2 强化通性通法，淡化技巧，多“思”少“算”

文理试卷的客观题尽管简单，但除了第（3）题（文第5题）外都必须通过运算和推理解答，难度和运算量都不很大，如理科（1）、（2）、（4）、（5）、（7）、（13）等题，充分体现了以知识为载体、以方法为依托，以能力考查为目的的命题思想。解答题在加大思维量的同时，注意降低运算的难度，侧重通性通法，避免特殊技巧；如理科（19）题，题干简明，符合新课标的基本理念。再如理（21）题，以函数为载体，融入方程、不等式、导数等基本知识。题目常见，方法常规，但需要灵活运用基本知识、基本方法求解，对于考纲提出的几大能力也有较高的要求。

2.3 紧靠考试大纲，注重创新，强调应用

新课改重视数学应用，在概率、统计等方面理科是一大两小，文科为一大题。2014年文理试卷均加大对统计内容的考核，这显然是新高考命题的一个重要导向：教学中不仅应该让学生会“算统计”，更要会“用统计”。

试卷对于考生创新意识也有较好的考查。如理（6）以单位圆与三角函数图像为背景，题面较为复杂；理（9）大胆突破线性规划的命题窠臼，与“全称”和“特称”相结合令人耳目一新，也让“画域、定边、代点、验证”的解题套路失灵；理（12）回归了立体几何考查空间想象能力和推理论证能力的本质，借助几何直观还能减少计算量，这比2013年课标Ⅰ卷理科第12题压轴效果好很多！

相应地，理（15）考查考生挖掘隐含的能力；理（16）只需把a=2换回关系式就能将问题化为“齐次”式，这些对于考生综合数学素养的考查有很好的区分度。

2.4 体现人文关怀，文理有别，缩小差距

除选做题外，全卷21道题，文理完全相同的选择题填空题仅有3道（15分），大题基本不一样，体现了文理科学生在数学上的不同要求，今年的概率统计题完全不同（往年常为姊妹题）。从结果上看文理生考试差距有显著缩小，以河北省二卷得分为例：文理分别约为35.8分（2013年31分）和45.2分（2013年37分）相差近10分（2013年相差6分）（2012年则为25分和35分，差10分），较好体现了高考命题的人文关怀。

2.5 回归数学本质，传承经典，推陈出新

创新是每年高考命题的基本原则，既遵循课程标准，又要辅以恰当载体。2014年试卷部分试题构思新颖，对创新应用意识体现相当好。如理（8），弦切互化，思维量丰富，突破了以往命题的常规；理（18）统计概率既要计算加权平均数，还要用正态分布等应用知识（湖北高考在2009年、2013年两次以解答题形式考过正态分布）；文（18）强化了对学生统计意识和应用能力的考查；文（20）根植于教材，大胆摒弃线锥关系，重点考查直线与圆等知识。

特别需要指出的是2013年课标Ⅱ卷理（7）文（9）这一经典在2014年湖北卷理科5文科7（例1）、北京卷理科7（例2）得以传承，并有所创新：

一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）。

这道题匠心独运，以空间坐标系为载体，有效回归了立体几何对空间想象能力的考查，考投影和视图更重构造转化创新，若能结合“以zOx平面为投影面”将四面体“放回”单位正方体里，问题就更容易解决，实为一道不可多得的好题，已成为2014年高考三视图考查的风向标。

例1在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）。 给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）。

（A）①和② （B）③和①

（C）④和③ （D）④和②

例2在空间直角坐标系O-xyz中，已知A(2 ,0,0 )，B(2 ,2,0 )，P,Q，x2+(y -6)2=2，若分别表示三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）。

（A）S1=S2=S3（B）S1=S2且 S3≠S1

（C）S1=S3且 S3≠S2（D）S2=S3且 S1≠S3

3 存在问题及改进建议

3.1 数列命题不宜深挖，以免误导教学

两套课标卷理科均一选一填，文科两套均一大，各有侧重。应该说，这几年的数列题难度在降低（有些地方卷中比较综合，甚至偏爱递推数列），等差和等比都有所涉及，所占比例与课标课时比例相比明显偏高，解答题里仍然主要考查错位相减（难度也偏大）。

3.2 三角函数需要强化，增加综合考查

三角试题考查偏少且较单一，区分效果不明显。这部分的诱导公式及三角恒等变换、正弦定理与余弦定理、图像变换、向量等都是必不可少的数学工具，命题人应下大力气研究如何体现这部分试题的甄别功能。

3.3 统计加量适可而止，突出数学文化

概率统计重点不再囿于概率，而是概率和统计并重（甚至后者分量超过了前者），这些是与教学要求里的课时比例相吻合的。但正态分布虽考过大题（湖北卷和课标Ⅰ卷），仍不宜作为重点，毕竟这部分内容课标和考纲里都不过是了解层次的要求；文科除古典概型、几何概型外，独立性检验和线性回归分析等涉及统计图表类型是新的增长点。希望数学文化和数学史的内容每年都能出现在试卷中，且不仅仅是点缀。

3.4 立体几何回归本质，注重空间想象

尽管立体几何小题灵活（特别是对球情有独钟），但大题不管是证明平行垂直还是求空间角、面积和体积，师生都更青睐空间向量法（传统方法本应有一席之地），机械性的“算”代替了推理论证等思维过程，从长远看不利于空间想象能力与逻辑推理论证等考查核心的教学，命题应“折、转、展、构造”等多法并举，引导中学教学走向正确的轨道。另外，从提高得分的角度看，文科考生更适合机械套用空间向量法。

3.5 解析几何再降难度，合理深挖教材

解析几何部分的试题尽管课标高考已经将传统重点线锥关系悄然转向定义、性质、曲线与圆，形式上也有向量等载体的创新，但试题难度依然比较大。

比如，2013年课标Ⅰ卷理科第20题（文科第21题）河北省理科得分率25.60%，文科5.46%，2014年课标Ⅰ卷文科第20题河北省得分率9.26%，都低得可怜！

涉及动圆圆心的轨迹问题，2011年广东卷、2013年全国I卷高考都已出现，它们都出自课标教材人教A版选修2-1（2007年2月第2版）第50页习题2.2B组第2题及第80页复习参考题A组第3（2）题，并且命题人刻意将教材上的圆的一般方程改成标准方程，减小了考生的运算量和思维难度，只要稍加留意这些教材上的东西，平均分绝不至于出现尴尬的不足1分的局面！

再比如2010年高考北京卷理科第14题第（1）问中的斜率之积，其实就源于课标教材人教A版选修2-1第41页例3的结论。

3.6 导数命题把控难度，发挥工具作用

函数与导数题难度高，多以压轴题的面目出现，难以体现导数的工具性及应用，每年各套卷都有四五道，大题指数、对数、多项式函数的组合非常多，且往往与不等式等综合，这些都导致这部分试题得分偏低形同废题，解题过程中又不断要求考生构造新函数解题，如果能打破这一定之规，对于提高考生“用”好导数确有不小的引导作用。

3.7 个别地方值得推敲，命题需要研究

例3（福建卷理9）此题常规思路是数形结合，若用三角换元或参数方程也很别致。

例4（福建卷理14）此题涉及反函数（2011年辽宁卷理（12）、2012课标Ⅰ卷理（12）都曾经考过）这个知识点。

例5（辽宁卷理12）此题不严密，可以举出反例，存争议。

（责任编辑 周黎明）

Focus on the Essence of Mathematics and Benefit from the Reform:Comments on Mathematics Test Papers of 2014 College Entrance Examination

LI Jinyu，YANG Yuchang and CHENG Xianghua

The present paper gives a general evaluation over Mathematics Test Papers of 2014 College Entrance Examination.Taking the National Curriculum Test Paper No.1 as an example,the authors give a detailed analysis of the test paper’s merits and demerits,point out that there exist some problems and drawbacks in some provincial test papers and put forward some practical suggestions about mathematics test.

College Entrance Examination Paper；Mathematics；Comments

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1005-8427(2014)12-0009-4