弹簧蛇形振子的制作与探究

卢海涛，陈向枭，王 珏，杨旭东，刘敏蔷

（北京工业大学a.环境与能源工程学院；b.应用数理学院，北京100124）

1 引 言

常见的蛇形摆是由若干个具有不同周期位于同一高度的摆球等间距地排列在成一条直线构成.虽然单摆具有不同周期，但相邻单摆间具有恒定的频率差，同时摆动时，摆球间的相对位置将成周期性变化［1-2］.

摆角小于5°单摆的运动可视为简谐振动［3］.随着初始角度的增大，单摆周期的相对误差也逐渐增大［4］.但由于空气阻力等因素的影响，摆角太小的单摆蛇形摆很快会停止摆动.另外，由于构成蛇形摆的单摆的摆长各不同，很难达到各摆初始摆角相同，也就很难达到更好的视觉效果.与单摆相比较，弹簧振子更容易构成简谐运动，并且不受运动角度和运动位置的影响.因此，我们将单摆蛇形摆中的单摆用弹簧振子代替，构成竖直运动的弹簧蛇振子.

2 弹簧蛇形振子简介

弹簧蛇形摆是由若干个具有不同周期的弹簧振子等间距地排列在成一条直线构成的.弹簧振子位于同一高度，当振子底部受到向上的抬升，各振子将作不同周期的简谐振动.当弹簧的劲度系数为定值时，弹簧的周期只与振子的质量有关.

设计共有周期为T0＝20s，由n＝10个弹簧振子构成的弹簧蛇形振子.弹簧的劲度系数为k.由于共有周期为T0＝20s，则每个弹簧振子的周期ti应为共有周期T0＝20s的整数分之一，即

对于第i个弹簧振子，有

则

又由于

其中Δxi为弹簧静止时的伸长量.由（3）和（4）式，可得

由（4）式可知弹簧的伸长量受到劲度系数和摆重的共同影响，由（5）式可知弹簧的伸长量与周期有关.为了便于制作，通常控制伸长量Δxi来获得合理的周期，伸长量取0.2～0.85m，则有：

Ni取正整数，

为了提高精度，取N1＝11，则

取定k值，根据（12）式可以计算出每个弹簧振子的摆重.

3 弹簧蛇形摆的制作

3.1 弹簧的选取

选择外径为10mm，内径为9mm，长为200mm的不锈钢密绕弹簧，测量其劲度系数约为1.64N／m.当所挂重物越重，其弹性系数越小.先取初始值k＝1.64N／m，计算摆重（如表1），再利用实验值迭代2～3次，可获得较为精准的值.

表1 每个弹簧振子的理论值周期和初始摆重

3.2 悬挂重物的制作

根据弹簧的劲度系数计算弹簧振子的摆重.向有机玻璃锥形圆筒内加入不同质量的彩沙，调节质量（精度为0.01g）.

3.3 组装重物和弹簧

将重物挂在弹簧上，弹簧与框架用细线连接，细线的长短可通过手拧螺栓调节，以保证圆筒底部在同一高度.

3.4 校准各个弹簧振子的劲度系数

3.5 微调

重复3.2，3.3，3.4步骤，直到弹簧的实际周期与理论周期的偏差在0.2%以内，一般重复2次就可以达到，最后结果见表2.

表2 每个弹簧振子的理论周期、劲度系数和修正后的摆重

3.6 整体测试

用托盘将所有有机玻璃锥形圆筒向上托起一定高度，并迅速撤去托盘，观察整体的振动情况.并观察它的共有周期，与理论值进行比较.结果见表3.图1～3分别为弹簧振子运动过程中的3种状态.

表3 每个弹簧振子的理论周期、实际周期及相对误差

图1 初始状态时的弹簧振子

图2 正弦状态时的弹簧振子

图3 反相状态时的弹簧振子

4 制作中应注意的细节

1）弹簧不要直接挂在框架上，用直线连接便于调节各个弹簧振子的整体高度；

2）控制弹簧振子的整体伸长，以避免产生共振现象；

3）对于细小的弹簧，其劲度系数在挂不同重物时，会有微小的变化，必须通过几次实验，进行校核调整，以保证弹簧振子的周期与理论值接近；

4）圆筒的容量设计满足大部分的弹簧振子的摆重，对于摆重在120g以上的弹簧振子，选择加入一些铁粉进行调节重量；

5）用底部为锥形的细长圆筒有利于减小空气阻尼的影响，可以提高弹簧蛇形摆的整体效果；

6）由于弹簧蛇形摆的整体振动时间过长，所以会有误差累计，后期的振动会存在一些偏差.

5 结束语

弹簧蛇形振子把传统的单摆蛇形摆的左右摆动改为上下振动，能够减小误差.对于蛇形摆，主要是控制每个摆的周期，来实现整体的周期变化的.而对于弹簧蛇形振子，通过控制每个弹簧所挂重物质量与劲度系数之比，来调整振动周期，以实现整体周期变化.当加入不同颜色的细沙，弹簧蛇形振子运动起来，提高了观赏性.所以与传统的单摆蛇形摆相比，弹簧蛇形振子则更是一种较为理想的简谐振动演示装置.

［1］薄春卫，孔祥明，贾肖婵，等.蛇摆的研究与制作［J］.物理实验，2012，32（4）：27-29.

［2］熊德永.第27届中学物理竞赛复赛STS试题分类解析［J］.物理教学，2011，33（3）：56-58.

［3］吴华平，邓迟，尹绍全，等.单摆实验中sinθ≈θ近似对周期的影响［J］.中国科教创新导刊，2007（20）：58.

［4］秦鸣雷，肖一凡，杨海亮，等.大角度下阻尼对单摆摆动周期的影响［J］.物理实验，2012，32（5）：42-45.

［5］张三慧.大学物理学（力学、热学）［M］.北京：清华大学出版社，2008：187-192.