一类具有集值映射的集值变分包含问题的解的存在性

2014-12-09 02:28谷桂花吴梅花
关键词:单值集值变分

谷桂花,吴梅花

( 内蒙古民族大学 数学学院,内蒙古 通辽028043)

集值变分包含问题在数学理论和应用中起着非常重要的作用.设B 是一个具有对偶空间B*的实Banach空间,‖·‖和〈·,·〉分别表示B的范数和B与B*之间的对偶对. CB(B)表示B的一切有界闭子集族,H(P,Q)为CB(B)上的Hausdorff 度量,J:B→2B*和J*:B*→B**分别是B和B*上的正规对偶映射.

在文献[1]中给出一类p-η-映射的概念及其性质.在文献[2]中研究了如下集值变分包含问题:对给定的f∈B*,求使得,文献[3]研究了一类具有(p,η)映射的集值变分包含问题.

定义1[2]设η:B×B→B*,p:B→B*,g:B→B是单值映射.

1)称p为η-增生的,如果存在jη(x,y)∈J*η(x,y)使得:〈p(x)-p(y),jη(x,y)〉≥0,∀x,y∈B.

2)称p为σ-强η-增生的,如果存在jη(x,y)∈J*η(x,y)和σ>0 使得:

3)称η 为τ-Lipschitz 连续的,若存在τ>0 使得:

定义2[2]设η:B×B→B*,p:B→B*是单值映射,称集值映射为:

1)η-增生的,如果存在jη(x,y)∈J*η(x,y)使得:

2)p-η-增生的,若M是η-增生的,且对∀ρ>0 有

定义3[2]映射为单值映射,集值映射M:B→2B*为p-η-增生的,M的预解算子被定义为

其中ρ>0 的常数.

引理1[2]设映射p:B→B*为σ-强η-增生的,η:B×B→B*为τ-Lipschitz 连续,集值映射M:B→2B*为p-η-增生的,则映射是连续,即:

定义4[4]称映射在第一变元是α-Lipschitz 连续,如果存在α>0 使得∀y1,x1,x2,…,xp∈B有:

定义5[5]称映射C:B→B为m-H-Lipschitz 连续,如果存在m>0,使得:

其中H为CB(B)上的Hausdorff 度量.

引理2[5]设B是实Banach 空间和J:B→2B*是正规对偶映射,则∀x,y∈B有:

1 主要结果

下面证明集值变分包含问题(1)的解的存在唯一性.

定理1 设B是实Banach 空间,单值映射p:B→B*为σ-强η-增生的,g:B→B为γ-Lipschitz 连续,g-I是s-强增生的,映射p·g为δ-Lipschitz 连续单值映射Ai:B→B为hi-Lipschitz 连续(i=1,2,…,p),η:B×B→B*为τ-Lipschit 连续,映射分别在第i变元是αi-Lipschitz,βi-Lipschitz 连续,集值映射D:B→分别为m-H-Lipschitz 连续,mi-H-Lipschitz 连续(i=1,2,…,p),令M:B×是集值映使得对每一固定的是p-η-增生的,并且dom(M(·,w))≠φ,假设存在正数μ,ρ 满足条件:

则变分包含问题(1)在B中有唯一解.

由引理2 及g-I的s-强增生性,有:

因此,u∈B是集值变分包含问题(1)的唯一解.证毕.

注:文献[2]中的结果是本文的特殊情形.

[1] 吴梅花.一类p-η 映射及其性质[J].内蒙古民族大学学报:自然科学蒙文版,2011,43(1):1-3.

[2] 吴梅花.一类集值变分包含问题解的存在性[J].内蒙古民族大学学报:自然科学汉文版,2010,25(2):127-129.

[3] 吴梅花.一类具有(p,η)映射的集值变分包含问题[J].湖北民族学院学报:自然科学版,2014,32(3):297-299.

[4] Jian W P.On a new system of generalized mixed quasi-variational-like inclusions with (H,η)-Accretive operators in realq-uniformly smooth Banach spaces[J].Nonlinear Analysis,2008,68:981-993.

[5] Feng H R,Ding X P.A new system of generalized nonlinear quasi-variational-like inclusions with A-monotone operators in Banach Spaces[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2009,225:365-373.

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