D-Brane的相互作用

赵新彦 陈明

(北京工业大学理论物理研究所,北京 100124)

D-Brane的相互作用

赵新彦 陈明

(北京工业大学理论物理研究所,北京 100124)

D膜对于超弦理论及M理论的非微扰性质非常重要,本文主要研究D膜之间的相互作用以及相关的动力学问题。类似于QFT,Feynman图并不能捕捉所有的信息,弦理论中的微扰展开也无法给出所有的现象,因此非微扰理论是必须的。非微扰论主要有: 弦场论；低能有效理论；AdS/CFT对偶。有效场论的方法需要知道全域(full bulk)和世界体上的有效作用量,通过这些作用量可以得知每一个全域无质量模的传播子以及它们与膜之间的耦合,从而可以计算出膜之间的相互作用势能。有效场论方法只需知道全域和世界体上的低能有效作用量即可,而且,有效场论的计算还不要求两组膜的数目悬殊,也不要求知道膜的具体构型,所以,相对于弦论计算和探针膜方法,有效场论方法是效率最高的。

D膜 等级问题 超弦

1 引言

量子场论以及后来的发展很好的解释了自然界中4种相互作用的3种，即电磁相互作用，弱相互作用和强相互作用；但对另外一种基本相互作用即引力相互作用却无能为力，这个问题的根本原因是我们在量子场论的框架下无法对引力进行量子化。我们希望能用统一的理论来描述这4种相互作用，因此如何协调广义相对论和量子引力之间的关系是理论物理所面临的一大难题。从某种程度上，弦论是目前最有希望将这四种相互作用统一起来的理论，而且不仅如此，弦论还能将自然界中所有常规意义下的基本粒子统一起来。

在弦论中，我们抛弃了以往对自然界中基本粒子是点粒子的假设，转而认为自然界的基本组成是一些振动着的长度在Planck尺度的弦。每根弦都有唯一的共振频率，基本粒子的质量和力荷便由弦的振荡行为来决定。比如说传播引力的相互作用的引力子便对应弦论中自旋为2的无质量弦。当我们用弦来测量空间中卷曲维度的半径时，未缠绕的弦测量的半径与缠绕的弦的半径互为倒数，也就是说二者的维数等价。这样我们无法得到比弦还小的尺度，因而在弦论中便可避免奇点的出现。

如果我们只考虑玻色自由度，我们将得到玻色弦理论，不过弦理论中的最低激发态是快子模而且该理论不能描述现实世界中的费米子；在弦理论中加入费米自由度以及超对称，我们就得到超对称弦理论，也就是我们熟悉的超弦理论。

Polchinski提出D膜的思想引发了第二次的超弦革命，D膜对于弦理论具有重要的意义，不仅仅推动了场论的发展，而且对于处理等级问题的额外维尺度的分析也成为弦论研究的前沿，本文选择研究的正是D膜的动力学问题。

2 D膜的定义

相对于玻色弦，超弦是在世界面上引入费米模，使得世界面上的理论成为超对称形式。其对称性包括：CFT(diffeomorphism+weyl symmetry)+SUSY相对于玻色弦的唯一性，我们可以通过引入费米模的不同方式，来得到不同的超弦理论。

上述五种超弦理论通过对偶关系相互联系：描述长程距离与短程距离等价性的T-对偶；描述强耦合与弱耦合之间等价性的S-对偶。这种关联使得五种超弦理论(以及11维超引力理论)同属于一个基本理论：M-Theory。

而在TypeII中，将高秩完全反对称张量耦合到物质延展体，我们可以得到：

也就是说，P-brane为粒子存在的普遍形式，其延展体耦合到秩为p+1的反对称张量上。P-brane保有16个时空超对称，物质能量集中在p+1维时空超曲面上。而D-brane为P-brane的激发态，是其一类特殊类别，对应开弦端点所附着的超曲面。

可能的D-brane类型：

TypeIIA中有p为偶数的 Dp-branes；

TypeIIB中有p为奇数的 Dp-branes。

上述两种D-branes由于Ramond-Ramond场而稳定存在，相对的，在TypeII中也包含不稳定的D-branes，即上述两种类型中p的奇偶性的交叉对应。

对于开弦的动力学，共形规范下的Polyakov作用量为：

运用最小作用量原理求其运动方程时，全导数项采取边界条件给出：

由上述边界条件，得到：

即，Neumann边界条件允许弦的端点自由移动，而Dirichlet边界条件又要求弦的端点处于某一个恒常位置。

Polchinski对此作出了逻辑上自洽的解释。

对两边界条件取不同指标：

这将开弦的端点置于一个p+1维的超曲面上，即D-brane。

D-brane又可根据其超曲面维数严格写为 Dp-brane，p代表其空间维数(不含时间维)。此时的洛伦兹群出现破缺：

图1

D-brane为BPS态，同p-brane一样，保持16个时空超对称。

3 D-brane动力学

Dp-brane第一激发态中横切于膜的振子：

这些振子在膜的 SO(1,p)群中为标量，可以认为它们是由膜上的标量场 φI产生的，这些标量场又可以认为是膜在横切方向上的涨落，所以，单从此处便可知道D-brane本身是新的动力学物体。更为精确的描述：开弦与闭弦为等价的理论，它们是同一理论的不同态，而且开弦理论不可避免的要含有闭弦。

由于开弦对应物质，闭弦对应引力，而且由于在引力理论中不能存在刚体，所以，若一个理论同时含有开弦和闭弦，那么D-brane就必须是动力学的。既然是动力学的，就必须有一个作用量。

在Lorentz协变性和重参数协变性下，其单膜形式为Nambu-Goto作用量的高维延展：

其中： Tp为D-brane的张力，定义为单位空间体积内的能量，量纲为它标度着膜与引力间的耦合量。

ξa为膜的世界体坐标

上述作用量即为Dirac作用量。它描述了D-brane上的标量场的横切涨落，并不涉及膜上的U(1)规范场 Aa。于是，更近一步，对于膜上的规范场，其动力学由Born-Infeld作用量描述：

Born-Infeld作用量为Maxwell理论的非线性替代理论。至此，考虑规范场动力学和膜的涨落，混合Dirac作用量和Born-Infeld作用量，得到DBI作用量：

DBI描述了平坦时空中D-brane的低能动力学。

前式中：

NS-NS 2-form势 Bμν到世界体的pullback：

上述作用量即为描述D-brane低能有效理论的DBI作用量。

继续扩展，考虑Ramond-Ramond(R-R)场对DBI的影响。D-brane电耦合于(p+1)-form的R-R规范势： Cp+1

前式的积分背景为膜的世界体。pμ为D-br ane的荷，且。在背景场 Bμν和D-brane上的规范场 Fab存在的情况下，D-brane还可以与更低秩的R-R势耦合，同时考虑T-对偶和2-form场的规范不变性，可以得到更一般的Chern-Simons作用量：

其中的符号P表示对式中的背景场和规范场取其到世界体的pullback，下标“p+1”指在展开式中只取(p+1)-form项。最后，结合DBI和Chern-Simons，再考虑超对称，加入费米部分，得到完整的世界体作用量：

现在考虑N张重合D-branes的作用量，此时，开弦的每个端点有N种附着方式，共有 N2种可能，每种这样的弦都具有开弦的质量谱系，意味着有 N2种不同的粒子。我们可以很自然的将粒子对应的场安置在一个 N×N的厄米矩阵中，这样我们可以得到开弦的ta-和无质量场，其中，为Chan-Paton因子，表明弦的端点附着在哪张膜上为膜的维数，表征规范场表征标量场。易知，N张重合D-branes的无质量激发态为具有U(N)对称性的规范场以及在U(N)群的伴随表示中变换的标量场

对于上述场的相互作用，我们希望有一个相应的作用量来描述，实际上，这个作用量应为非阿贝尔形式的DBI作用量，这种形式的作用量至今未能有适用于任意阶自洽的定义。形式上：

而若考虑低能极限情况，则可以得到描述N张重合D-branes的低能作用量：

4 D-branes的相互作用

对于两堆平行放置的膜之间的相互作用，我们有三种方法对其进行计算：弦论计算，探针膜方法，有效场论方法。

弦论计算要求系统要有相应的弦论描述，用此方法可对D-branes做弦论层次上的微扰计算，其适用性要求耦合常数较小。最简单的相互作用是一个柱面图：两D-branes间交换一根闭弦的树图由于弦的世界面上的对偶性，等价于搭在两膜之间的开弦的单圈图。

探针膜方法的原理是，在源膜产生的背景下，探针膜所受的作用可以通过分析该膜在源膜产生的场中的势能得到。此法要求探针膜不能改变源膜所产生的背景，还要知道源膜的具体构型。

有效场论的方法需要知道全域(full bulk)和世界体上的有效作用量。通过这些作用量可以得知每一个全域无质量模的传播子以及它们与膜之间的耦合，从而可以计算出膜之间的相互作用势能。探针膜方法和有效场论方法只需知道全域和世界体上的低能有效作用量即可，而且，有效场论的计算还不要求两组膜的数目悬殊，也不要求知道膜的具体构型，所以，相对于弦论计算和探针膜方法，有效场论方法是效率最高的。特别的，对于一些相互作用中之含有无质量模的系统，如系统，有效场论的方法可以扩展至弦论层次。我们在第三章已经得到了较为普遍的有效作用量，因此，将利用有效场论计算 D0膜和 D8膜之间的相互作用及其发散问题，由于这个系统含有无质量粒子，而无质量粒子可以给出长程力，所以我们比较感兴趣。

6 结语

我们将来想要做的工作就是通过D-branes的动力学，来研究此方案中两张膜之间的关系，并且试图延展到N张重合膜的情况。

[1]Polchinski String Theory,Vol.1,2.(Cambridge:Cambridge University Press).

[2]D-branes in string theory[1,2],Paolo Di Vecchia.arXiv:hepth/9912161V1.

[3]Introduction to M Theory and AdS CFT Duality,John H.Schwarz.arXiv:hep-th/9812037V2.

[4]Cambridge Lectures on Supersymmetry and Extra Dimensions.,Fernando Quevedo.(DAMTP,University of Cambridge,Press.)

[5]Brane Interantions and the Related Dynamics.Rong-jun Wu.

[6]Some non-Perturbative Aspects of String/M Theory. Bo Ning.

[7]Brane solutions,closed string tachyon condensation and D-brane bound states interantion.Zhao-Long Wang.

[8]Fujikawa K and Okuyama K Phys.Lett.B 411 261.

[9]Johnson C V 2003 D-Brane(Cambridge:Cambridge Univ.Press).

[10]Zwiebach B 2004 A First Course in String Theory(Cambridge:Cambridge Univ.Press).

[11]Hoppe J Membranes and Matrix Models[OL]hep-th/0206192.

[12]Collins P A and Tucker R W Nucl.Phys.B 112 150.

[13]Taylor W Rev.Mod.Phys 73 419 hep-th/0101126.

[14]Maldacena J M Adv.Theor.Math.Phys 2 231 arXiv:hep-th/9711200.

[15]Polchinski J Phys.Rev.Lett 75 4724 hep-th/9510017.

[16]E.Witten,Adv.Theor.Math.Phys.2(1998)505,hep-th/9803131.25.

赵新彦(1988.09-),性别:男,籍贯:河北保定,学历:研究生,研究方向:理论物理。