残量分布格式初步研究与应用

石 薇，王海燕

（上海航天控制技术研究所，上海 200233）

0 引言

近年来，以ABGRALL，DECONINCK等为首的国外学者逐渐发展出一种新的数值计算空间离散格式——残量分布格式（RD格式），该格式主要用于三角形网格和四面体网格［1－3］。残量分布格式的优点主要有：间断面处可得到高分辨率解；任意非结构网格中，在节点与其紧邻的节点构成的紧凑单元上可实现稳态流场的空间二阶精度；数值迎风过程能真实反映多维物理信息；对网格的敏感度较低［4－5］。残量分布格式的优点突出，导致更多的国外研究学者聚焦于这种格式［6－7］。本文对残量分布格式进行了研究，讨论了标量方程和Euler方程残量分布格式的窄格式（N格式）、低扩散对流格式（LDA格式）和正流恒定格式（PSI格式）三种形式的性能［5］。

1 残量分布格式

残量分布格式构建主要分为两大步骤：一是由存储在网格节点上的状态参数计算出三角单元的残量，二是将三角单元残量按一定比例分配至单元所在的每个节点，更新节点参数［4］。

1.1 标量方程

在二维空间Ω⊂R2中，标量守恒方程

的准线性形式为

式中：uh＝ ∑iuiξi；▽uh为常数为三角单元平均平流速度，且。此处：ξi为与节点i相关的线性形状函数。由守恒线性化变换可得

图1 节点单元Fig.1 Dual cell around a vertex

图2 三角形内法矢量Fig.2 Triangle with scale inward normals

将ΦT按一定的比例分配到每个节点，有

由此可得残量分布格式的一般显式形式为

三角形的每个节点分配三角单元残量的过程，需遵循一定的设计原则：

a）迎风特性，若ki≤0，则（Φi）T＝0；

b）线性保留条件，（Φi）T（uh）＝Θ（h3）；

c）单调性，若（Φi）T＝ ∑jcij（ui－uj），则cij≥0。

表1 残量计算公式与格式特性Tab.1 Design principle of residual distribution schemes

1.2 Euler方程

在二维空间Ω⊂R2中，Euler守恒方程

的二维准线性形式为

根据残量分布格式的设计原则，可得Euler方程的N，LDA，PSI格式计算公式分别为

2 算例

2.1 旋转余弦和旋转柱体

旋转余弦和旋转柱体是二维线性非稳态平流方程数值测试的典型算例［8］。模拟过程是余弦斜坡和柱体在以原点为中心的圆形区域内作周期性圆周运动。

表2 旋转余弦和旋转柱体最大与最小解Tab.2 Min and max solutions for rotating cosine and cylinder test case

图3 旋转余弦数值解Fig.3 Solutions for rotating cosine hill after one revolution

2.2 缩放通道

2.3 平面叶栅

图4 旋转柱数值解Fig.4 Solutions for rotating cylinder after one revolution

图5 网格与激波位置Fig.5 Mesh and position of shock wave

图6 壁面静压力分布Fig.6 Distributions of pressure along curve wall

图7 壁面马赫数分布Fig.7 Distributions of Mach number along curve wall

图8 叶栅计算网格Fig.8 Mesh of cascade for computation

3 结束语

图9 静压等值线Fig.9 Static pressure contours

图10 叶栅壁面静压力分布Fig.10 Distributions of static pressure alongxdirection

图11 叶栅壁面马赫数分布Fig.11 Distributions of Mach number along x direction

本文研究了一类新的数值离散格式，并与传统中心差分、迎风格式进行了比较。结果证明：该格式有较高的精度，能反映真正的多维物理信息，较传统拟多维迎风格式更接近物理事实，对网格的敏感度较低，在求解复杂物面条件下，比传统迎风格式有优势，但该格式时间消耗较传统迎风格式大，主要因为每个节点需进行多次的矩阵求逆。本文PSI格式的构造方法简单，但在极少数情况计算不准确。

［1］ VAN DER WEIDE E，DECONINCK H，ISSMANNE，etal.Fluctuation splitting schemes for multidimensional convection problem：an alternative to finite volume and finite element methods［J］.Computational Mechanics，1999，23（2）：199-208.

［2］ DECONINCK H，SERMEUS K，ABGRALL R.Status of multidimensional upwind residual distribution schemes and applications in aeronautics［R］.AIAA，CP 2000-2328.

［3］ ABGRALL R，MEZINE M.Construction of secondorder accurate monotone and stable residual distribution schemes for steady problems［J］.Journal of Computational Physics，2004，195：474-507.

［4］ CSIK A，RICCHIUTO M，DECONINCK H，etal.Space-time residual distribution schemes for hyperbolic conservation laws［R］.AIAA，2001-2617.

［5］ ABGRALL R.Toward the ultimate conservative scheme：following the quest［J］.J Comput Phys，2001，167：277-315.

［6］ JCC H，LMC G.A multidimensional upwind matrix distribution scheme for conservation laws［J］.Comput Fluids，2004；33（5-6）：755-70.

［7］ ASLAN N.A visual fluctuation splitting scheme for magneto hydrodynamics with a new sonic fix and Euler limit［J］.Journal of Computational Physics，2004，197：1-27.

［8］ ABGRALL R，MEZINE M.Construction of second order accurate monotone and stable residual distribution schemes for unsteady flow problems［J］.J Comput Phys，2003，188（1）：16-55.

［9］ DOBES J，RICCHIUTO M，DECONINCK H.Implicit space-time residual distribution method for unsteady laminar viscous flow［J］.Computers ＆ Fluids，2005，34：593-615.