Rosenau-Kawahara方程的一个新的守恒差分算法

陈 涛，胡劲松*，郑克龙

(1.西华大学 理学院，成都 610039;2.西南科技大学 理学院，四川 绵阳 621002)

本文考虑如下一类Rosenau-Kawahara方程的初边值问题:

其中u0(x)是一个已知的光滑函数。问题(1—3)具有如下守恒律［1-2］:

文献［3］讨论了方程(1)的孤波解和周期解;文献［4］运用He＇s原理计算了方程(1)的积分;文献［1-2］进一步给出了一类广义Rosenau-Kawahara方程的孤波解和2个不变量。目前，仅有文献［5］对问题(1—3)进行过数值方法研究，提出了一个两层非线性差分格式和一个三层线性差分格式，且这2个格式都很好地模拟了守恒量(4)和(5)。本文对文献［5］中的三层线性差分格式在时间层引入加权系数，从而对问题(1—3)构造一个新的差分格式，新格式保持对守恒量(4)和(5)的数值模拟，并兼顾了线性格式计算快的优点。数值实验表明:适当调整加权系数，可使计算精度大幅度提高，且明显优于文献［5］中的2个格式。

1 差分格式及守恒律

对区域［xL，xR］×［0，T］作网格剖分，取空间步长h=(xR-xL)/J，时间步长为 τ，xj=xL+jh(0≤j≤J)，tn=nτ(n=0，1，2，…，N，N=［T/τ］)。在本文中记为:;用C 表示与 τ和h无关的一般正常数(即在不同地方有不同的取值)，并定义如下记号:

对问题(1—3)考虑如下有限差分格式:

定理1设u0∈［xL，xR］，则差分格式(1—3)关于以下离散能量守恒，即

证明:将(6)式两端乘以h，然后对j从1到J-1求和，根据边界条件(8)和分部求和公式［6］，得:

根据Qn的定义，由(11)式递推可得(9)式;

改进后，安装整体式托辊支架时，只需沿限位块推行至固定螺栓孔位置，再安装托辊支架固定螺栓，便于整体式托辊支架安装定位。同时，整体式电缆托辊支架受下限位块的支撑，减小了托辊支架固定螺栓的支撑作用力。另外，在更换任一托辊时，无需再拆卸托辊支架，有效的避免了托辊支架固定螺栓出现滑丝现象。因整体式支架受上、下限位块的限位作用力，避免了电缆托辊支架的倾斜，解决了垂直托辊与支架底板摩擦问题。

由En的定义，将(13—15)式带入(12)式后对n递推可得(10)式。

2 差分格式的收敛性和稳定性

令差分格式(6—8)的截断误差为:

引理 1［5］设，则初边值问题(1—3)的解满足:C，‖u‖L∞≤C，‖ux‖L∞≤C。

定理2 设u0∈［xL，xR］，若时间步长 τ充分小，则差分格式(6—8)的解满足其中 n=1，2，…，N)。

证明:由Cauchy-Schwarz不等式有:

再由(10)式，有:

注:定理2表明，差分格式(6—8)的解 Un以‖·‖∞无条件稳定。

类似于(13)式，有

再由引理1、定理2以及(19)式，有

将(24—27)代入(23)式，整理得

选择一个二阶方法(如C-N格式［5］)先计算出U1，使之满足:B0≤O(h2+τ2)2，又

3 数值实验

Rosenau-Kawahara方程(1)的单个孤波解［3］为:

在计算中，取初值函数 u0(x)=u(x，0)，固定xL=-40，xR=100，T=40，就加权参数 θ取不同值时，将数值解和孤波解在几个不同时刻的最大模误差进行了比较，如图1—2所示;本文格式对守恒量(4)和(5)的数值模拟En和Qn如表1—2所示。

图1 当τ=h=0.05，θ变化时，最大模误差变化曲线

图2 当τ=h=0.025，θ变化时，最大模误差变化曲线

表1 当τ=h=0.05，θ变化时，在几个不同时刻的En和Qn

表2 当τ=h=0.025，θ变化时，在几个不同时刻的En和Qn

4 结语

当θ=0时，本文格式即为文献［5］中的三层线性格式。从图1和图2可以看出，适当调整加权参数可以大幅度提高本文格式的计算精度，且加权参数θ取值越接近1，计算效果越好。特别地，当θ=1时，计算精度明显优于文献［5］中的三层线性格式和两层非线性格式(C-N格式);从表1和表2可以看出，在不同加权参数的情况下，本文格式也很好地模拟了守恒量(4)和(5)，故本文对初边值问题(1—3)提出的加权格式是可靠的。

［1］BISWAS A，TRIKI H，LABIDI M.Bright and dark solitons of the Rosenau-Kawahara equation with power law nonlinearity［J］.Physics of Wave Phenomena，2011，19(1):24-29.

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