思维拓展棱锥体积计算话思想

胡彬

棱锥的体积只与棱锥的底面积和高有关，而与其形状无关.求四面体的体积时要注意合理选取底面.同时，计算棱锥的体积也应当注意数学思想与方法的运用.常用的思想方法有：转换思想、等积变换思想、分割思想及补形思想.

一、转换思想

图1

例1如图1所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱和底面边长都为a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求三棱锥B-B1DE的体积.

分析本题有助于提高空间想象能力，棱锥B-B1DE的位置不利于计算，利用等底面积等高的锥体体积相等的定理把求该棱锥的体积转化为求其他棱锥的体积.

解直三棱柱各棱长均为a，

∴各侧面是正方形，D、E分别是AB1、CB1的中点，在△AB1C中，

S△DB1E=14S△AB1C，棱锥B-AB1C与棱锥B-B1DE等高， ∴VB-DB1E=14VB-AB1C.

又∵VB-AB1C=VB1-ABC=13×

34a2×a=312a3，

∴VB-DB1E=14×312a3=348a3.

评注从以上的解答过程我们可以看到，本题直接计算三棱锥B-B1DE的底面积与高将十分困难，但是，当我们把求三棱锥B-B1DE的体积转化为求三棱锥B1-ABC的体积时，三棱锥B1-ABC的高与底面积就一目了然了，这样合理转化后使计算大大简化.

二、等积变换思想

图2

例2如图2所示，在底面是正三角形的三棱柱ABC-A1B1C1中，高为3，底面边长为2，D、E分别是AC、BC的中点，求四棱锥A-A1B1ED的体积.

分析直接求四棱锥的底面积和高，再求体积可行，但不如分割成三棱锥后再进行“等积变换”解答简便.

解连A1E，则S△A1B1E=2S△A1DE，S△ADE=14S△ABC，

故VA-A1B1ED=VA-A1DE+VA-A1B1E=3VA-A1DE =3VA1-ADE=3×13×14×34×22×3=334.

评注“等积变换”一般有两类：一是对同一个三棱锥，变某一侧面为底面；二是对两个不同的锥体，或顶点不变，在同一平面内变换底面，或底面不变，在与底面平行的直线上或平面内变换顶点的位置.灵活运用“等积变换”，事半功倍.

三、分割与补形思想

例3在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA、BC的公垂线ED=h，求证：三棱锥P-ABC的体积V=16·l2·h.

分析一当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，即将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这种方法就称为割补法.该题的解答就可利用平面EBC（或平面PAD）将三棱锥分割成两个易求体积的三棱锥.图3

证法一如图3所示，

连EB、EC.∵PA⊥BC，PA⊥DE， ∴PA⊥平面EBC，又DE⊥BC.

∴V=VP-EBC+VA-EBC=13S△EBC·PE+13S△EBC·AE=13×12l·h·l=16·l2·h.

分析二将三棱锥补形成三棱柱，则便于利用条件求体积.

图4

证法二如图4所示，

以PA为侧棱，△ABC为底面将三棱锥补形成三棱柱ABC-PQR，则△BCE为直截面，于是V=13·S△BCE·PA=16·l2·h.

评注（1）本题还可以将三棱锥补形为四棱锥求体积；（2）三棱锥是最简单的多面体，求多面体的体积时，常将其分割成几个三棱锥，或将其补形成四棱锥、三棱柱，即采用“割补法”使问题更容易得到解决.

（收稿日期：2014-06-12）

棱锥的体积只与棱锥的底面积和高有关，而与其形状无关.求四面体的体积时要注意合理选取底面.同时，计算棱锥的体积也应当注意数学思想与方法的运用.常用的思想方法有：转换思想、等积变换思想、分割思想及补形思想.

一、转换思想

图1

例1如图1所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱和底面边长都为a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求三棱锥B-B1DE的体积.

分析本题有助于提高空间想象能力，棱锥B-B1DE的位置不利于计算，利用等底面积等高的锥体体积相等的定理把求该棱锥的体积转化为求其他棱锥的体积.

解直三棱柱各棱长均为a，

∴各侧面是正方形，D、E分别是AB1、CB1的中点，在△AB1C中，

S△DB1E=14S△AB1C，棱锥B-AB1C与棱锥B-B1DE等高， ∴VB-DB1E=14VB-AB1C.

又∵VB-AB1C=VB1-ABC=13×

34a2×a=312a3，

∴VB-DB1E=14×312a3=348a3.

评注从以上的解答过程我们可以看到，本题直接计算三棱锥B-B1DE的底面积与高将十分困难，但是，当我们把求三棱锥B-B1DE的体积转化为求三棱锥B1-ABC的体积时，三棱锥B1-ABC的高与底面积就一目了然了，这样合理转化后使计算大大简化.

二、等积变换思想

图2

例2如图2所示，在底面是正三角形的三棱柱ABC-A1B1C1中，高为3，底面边长为2，D、E分别是AC、BC的中点，求四棱锥A-A1B1ED的体积.

分析直接求四棱锥的底面积和高，再求体积可行，但不如分割成三棱锥后再进行“等积变换”解答简便.

解连A1E，则S△A1B1E=2S△A1DE，S△ADE=14S△ABC，

故VA-A1B1ED=VA-A1DE+VA-A1B1E=3VA-A1DE =3VA1-ADE=3×13×14×34×22×3=334.

评注“等积变换”一般有两类：一是对同一个三棱锥，变某一侧面为底面；二是对两个不同的锥体，或顶点不变，在同一平面内变换底面，或底面不变，在与底面平行的直线上或平面内变换顶点的位置.灵活运用“等积变换”，事半功倍.

三、分割与补形思想

例3在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA、BC的公垂线ED=h，求证：三棱锥P-ABC的体积V=16·l2·h.

分析一当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，即将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这种方法就称为割补法.该题的解答就可利用平面EBC（或平面PAD）将三棱锥分割成两个易求体积的三棱锥.图3

证法一如图3所示，

连EB、EC.∵PA⊥BC，PA⊥DE， ∴PA⊥平面EBC，又DE⊥BC.

∴V=VP-EBC+VA-EBC=13S△EBC·PE+13S△EBC·AE=13×12l·h·l=16·l2·h.

分析二将三棱锥补形成三棱柱，则便于利用条件求体积.

图4

证法二如图4所示，

以PA为侧棱，△ABC为底面将三棱锥补形成三棱柱ABC-PQR，则△BCE为直截面，于是V=13·S△BCE·PA=16·l2·h.

评注（1）本题还可以将三棱锥补形为四棱锥求体积；（2）三棱锥是最简单的多面体，求多面体的体积时，常将其分割成几个三棱锥，或将其补形成四棱锥、三棱柱，即采用“割补法”使问题更容易得到解决.

（收稿日期：2014-06-12）

棱锥的体积只与棱锥的底面积和高有关，而与其形状无关.求四面体的体积时要注意合理选取底面.同时，计算棱锥的体积也应当注意数学思想与方法的运用.常用的思想方法有：转换思想、等积变换思想、分割思想及补形思想.

一、转换思想

图1

例1如图1所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱和底面边长都为a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求三棱锥B-B1DE的体积.

分析本题有助于提高空间想象能力，棱锥B-B1DE的位置不利于计算，利用等底面积等高的锥体体积相等的定理把求该棱锥的体积转化为求其他棱锥的体积.

解直三棱柱各棱长均为a，

∴各侧面是正方形，D、E分别是AB1、CB1的中点，在△AB1C中，

S△DB1E=14S△AB1C，棱锥B-AB1C与棱锥B-B1DE等高， ∴VB-DB1E=14VB-AB1C.

又∵VB-AB1C=VB1-ABC=13×

34a2×a=312a3，

∴VB-DB1E=14×312a3=348a3.

评注从以上的解答过程我们可以看到，本题直接计算三棱锥B-B1DE的底面积与高将十分困难，但是，当我们把求三棱锥B-B1DE的体积转化为求三棱锥B1-ABC的体积时，三棱锥B1-ABC的高与底面积就一目了然了，这样合理转化后使计算大大简化.

二、等积变换思想

图2

例2如图2所示，在底面是正三角形的三棱柱ABC-A1B1C1中，高为3，底面边长为2，D、E分别是AC、BC的中点，求四棱锥A-A1B1ED的体积.

分析直接求四棱锥的底面积和高，再求体积可行，但不如分割成三棱锥后再进行“等积变换”解答简便.

解连A1E，则S△A1B1E=2S△A1DE，S△ADE=14S△ABC，

故VA-A1B1ED=VA-A1DE+VA-A1B1E=3VA-A1DE =3VA1-ADE=3×13×14×34×22×3=334.

评注“等积变换”一般有两类：一是对同一个三棱锥，变某一侧面为底面；二是对两个不同的锥体，或顶点不变，在同一平面内变换底面，或底面不变，在与底面平行的直线上或平面内变换顶点的位置.灵活运用“等积变换”，事半功倍.

三、分割与补形思想

例3在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA、BC的公垂线ED=h，求证：三棱锥P-ABC的体积V=16·l2·h.

分析一当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，即将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这种方法就称为割补法.该题的解答就可利用平面EBC（或平面PAD）将三棱锥分割成两个易求体积的三棱锥.图3

证法一如图3所示，

连EB、EC.∵PA⊥BC，PA⊥DE， ∴PA⊥平面EBC，又DE⊥BC.

∴V=VP-EBC+VA-EBC=13S△EBC·PE+13S△EBC·AE=13×12l·h·l=16·l2·h.

分析二将三棱锥补形成三棱柱，则便于利用条件求体积.

图4

证法二如图4所示，

以PA为侧棱，△ABC为底面将三棱锥补形成三棱柱ABC-PQR，则△BCE为直截面，于是V=13·S△BCE·PA=16·l2·h.

评注（1）本题还可以将三棱锥补形为四棱锥求体积；（2）三棱锥是最简单的多面体，求多面体的体积时，常将其分割成几个三棱锥，或将其补形成四棱锥、三棱柱，即采用“割补法”使问题更容易得到解决.

（收稿日期：2014-06-12）