关于BCH-代数导出半群的一些结果

2015-02-10 03:05李金龙
关键词:合群代数学报

李金龙,李 军

1966年,日本数学家K.Iseki提出了BCI-代数;1981年,胡庆平推广了这个代数系统,提出了BCH-代数.众所周知,BCI-代数类是BCH-代数类的真子类,正是由于这样原因,对BCH-代数的研究就更困难一些,但通过研究所得的结论却更具有普遍性.文[1]作者讨论了BCH-代数的导出半群;文[2]作者讨论了BCI-代数的可换序半群.作者将利用BCH-代数的导出半群来刻画结合BCI-代数、p-半单BCI-代数、拟结合BCH-代数和BCHK-代数.因为一般的BCH-代数没有BCI-代数中的自然偏序关系,所以可换序半群需在文[3]作者提出的偏序BCH-代数中来讨论,并给出有关可换序半群的一些性质.

为行文方便,先引入下面的一些定义和结论.

定义1[4]一个(2,0)型代数〈X;*,0〉叫作BCH-代数,如果∀x,y,z∈X,它满足下列公理

定义2[5]设〈X;*,0〉是一个BCH-代数,若∀x∈X,有0*(0*x)=0*x成立,则称〈X;*,0〉是一个拟结合BCH-代数.

定义3[3]设〈X;*,0〉是一个BCH-代数,若x≤y(x≤y⇔x*y=0),∀z∈X,有z*y≤z*x,则称〈X;*,0〉是一个偏序BCH-代数.

若x≤y,∀z∈X,有z*y≤z*x,这个性质称为BCH-代数的偏序性.

在文[9]中,给出了序半群的理想和核的概念,将其中的运算改为加法后可叙述为:

定义4[9]设A是加法序半群 (S,+,≤)的非空子集,如果满足:

(1)∀s∈S,∀a∈A,有s+a,a+s∈A;(2)∀b∈S,∀a∈A,由b≤a,可推出b∈A.

则称A是序半群S的理想.

如果序半群S的所有理想的交非空,称这个非空交为S的核,记为Ker(S).在序半群S中,如果只有S为它的理想,称S为单序半群.如果Ker(S)存在,必是S的最小理想.

引理1[1]设〈X;*,0〉是一个BCH-代数,∀x,y∈X,定义,x+y=0*[(0*x)*y],则(X,+)是一个可换半群,且有(0*x)+x=0.

设〈X;*,0〉是一个BCH-代数,文[6]中,记G(X)={x∈X|0*x=x},L(X)={x∈X|0*(0*x)=x},它们分别称为BCH-代数〈X;*,0〉的结合部分、p-半单部分;文[5]中,记Q(X)={x∈X|0*(0*x)=0*x},并有下面的结论:

引理2[5-6]设〈X;*,0〉是一个BCH-代数,则有下列结论成立:

(1)G(X)是X 的一个结合BCI-子代数;(2)L(X)是X 的一个p-半单BCI-子代数;(3)Q(X)是X的一个拟结合子代数.

引理3[4-5]设〈X;*,0〉是一个BCH-代数,则∀x,y∈X,有下列结论成立:

(1)0*(x*y)=(0*x)*(0*y);(2)0*[0*(0*x)]=0*x;(3)x*0=x.

引理4[5]设〈X;*,0〉是一个拟结合BCH-代数,则有下列结论成立:

(1)∀x,y∈X,定义:x+y=0*(x*y),则(X,+)是一个交换(可换)半群;

(2)∀x∈X,有(0*x)*x=0.

引理5[4]设〈X;*,0〉是一个BCH-代数,若∀x∈X,有0*x=x,则〈X;*,0〉是一个结合BCI-代数.

引理6[7]设〈X;*,0〉是一个BCH-代数,若∀x∈X,有0*(0*x)=x,则〈X;*,0〉是一个广义结合(p-半单)BCI-代数.

引理7[8,10]设〈X;*,0〉是一个BCH-代数,则有下列结论成立:

(1)L(X)={0*x|x∈X}={0*(0*x)|x∈X};(2)设x∈L(X),若y∈X,有y*x=0,则y=x.

引理8[3]设〈X;*,0〉是一个偏序BCH-代数,则X中的二元关系≤是一个偏序关系.

1 用BCH-代数导出半群来刻画特殊的BCH-代数

设〈X;*,0〉是一个BCH-代数,∀x,y∈X,定义x+y=0*[(0*x)*y],由引理1知,(X,+)是一个可换半群,文[1]将(X,+)称为BCH-代数〈X;*,0〉的导出半群.下面先讨论(X,+)的几个子代数,然后用BCH-代数的导出半群来刻画一些特殊的BCH-代数.

定理1 设〈X;*,0〉是一个BCH-代数,则有下列结论:

(1)(G(X),+)是BCH-代数导出半群(X,+)中的对合群;

(2)(L(X),+)是BCH-代数导出半群(X,+)中的可换群;

(3)(Q(X),+)是BCH-代数导出半群(X,+)的可换子半群.

证明 (1)利用引理2的(1)知,G(X)是X 的一个结合BCI-子代数,故∀x,y∈G(X)有,x+y=0*[(0*x)*y]=x*y,由文[4]知,(G(X),+)是一个对合群,且0是零元,故(G(X),+)是 (X,+)中的对合群.

(2)利用引理2的(2)知,L(X)是X 的一个p-半单BCI-子代数,故∀x,y∈L(X),由引理3的(1)得,x+y=0*[(0*x)*y]=[0*(0*x)]*(0*y)=x*(0*y),再由文[4]知,(L(X),+)是一个可换群,故(L(X),+)是 (X,+)中的可换群.

(3)利用引理2的(3)知,Q(X)是X 的一个拟结合子代数,故∀x,y∈Q(X),由引理3的(1)和定义2,得x+y=0*[(0*x)*y]=[0*(0*x)]*(0*y)=(0*x)*(0*y)=0*(x*y),再由引理4的(1),知(Q(X),+)是可换半群,故(Q(X),+)是 (X,+)的可换子半群.

定义5 设〈X;*,0〉是一个BCH-代数,若∀x∈X,有0*x=0成立,则称〈X;*,0〉是一个BCHK-代数.

定理2 设〈X;*,0〉是一个BCH-代数,则有下列结论:

(1)X是结合BCI-代数当且仅当导出半群(X,+)是以0为零元的对合群;

(2)X是p-半单BCI-代数当且仅当导出半群(X,+)是以0为零元的可换群;

(3)X是拟结合BCH-代数当且仅当(L(X),+)是以0为零元的导出半群(X,+)中的对合群;(4)X是BCHK-代数当且仅当导出半群(X,+)中任意两个元素之和为零.

证明 (1)设X是结合BCI-代数,则G(X)=X,由定理1知,(X,+)是对合群,且0是零元.反过来,若导出半群(X,+)是以0为零元的对合群,则∀x∈X有,x+x=0,由引理1知,(0*x)+x=0,故0*x=x,由引理5知,〈X;*,0〉是结合BCI-代数.

(2)设X 是p-半单BCI-代数,则L(X)=X,由定理1知,(X,+)是可换群,由 H-1得,0+x=0*[(0*0)*x]=0*(0*x)=x,故0是X的零元.反过来,若导出半群(X,+)是以0为零元的可换群,则∀x∈X 有,0+x=x,即0*(0*x)=x,由引理6知,〈X;*,0〉是p-半单BCI-代数.

(3)必要性.设X 是拟结合BCH-代数,则∀x∈L(X),由引理4的(2)和 H-1知,x+x=0*[(0*x)*x]=0*0=0,又0+x=0*(0*x)=x,利用定理1得,(L(X),+)是以0为零元的导出半群(X,+)中的对合群.

充分性.∀x∈X,令y=0*x,由引理7的(1)知,y∈L(X),因(L(X),+)以0为零元的导出半群(X,+)中的对合群,由引理3的(1)和(2)得

0=y+y= (0*x)+(0*x)=0*{[0*(0*x)]*(0*x)}= (0*x)*[0*(0*x)].又由引理3,上式和H-1得

[0*(0*x)]*(0*x)= [0*(0*x)]*{0*[0*(0*x)]}=0*{(0*x)*[0*(0*x)]}=0*0=0.

再由 H-2得,0*(0*x)=0*x,所以利用定义2知,〈X;*,0〉是拟结合BCH-代数.

(4)必要性.设〈X;*,0〉是BCHK-代数,则∀x,y∈X,有x+y=0*[(0*x)*y]=0.

充分性.设∀x,y∈X 有,x+y=0*[(0*x)*y]=0,取x=0,由 H-1得,0*(0*y)=0,两端左乘0得,0*[0*(0*y)]=0*0=0,由引理3的(2)得,0*y=0,因此由定义5知,〈X;*,0〉是BCHK-代数.

最后说明一下,设(X,+)是BCH-代数〈X;*,0〉的导出半群,二元运算+的值域记为Ran(X,+),由引理7的(1)易知Ran(X,+)={x+y|x,y∈X}={0*[(0*x)*y]|x,y∈X}=L(X).

2 偏序BCH-代数导出半群的性质

定理3 设〈X;*,0〉是一个偏序BCH-代数,则它的导出半群(X,+)是一个可换序半群.记为(X,+,≤),这里的≤是偏序BCH-代数〈X;*,0〉的偏序.

证明 利用引理8知,(X,≤)是偏序集,由引理1知,(X,+)是可换半群;∀x,y,z∈X,设x≤y,由偏序性和 H-3得,(0*z)*y≤(0*z)*x,(0*y)*z≤(0*x)*z,再由偏序性得,0*[(0*x)*z]≤0*[(0*y)*z],即x+z≤y+z,利用交换律得,z+x≤z+y,所以(X,+)是一个可换序半群.

设I是偏序BCH-代数〈X;*,0〉的可换序半群(X,+,≤)的任一理想,∀a∈I,由引理1知,0=(0*a)+a∈I,所以,由定义4知,可换序半群(X,+,≤)的核一定存在,且0∈Ker(X).

下面,研究偏序BCH-代数〈X;*,0〉的可换序半群(X,+,≤)核的一些性质.

定理4 设〈X;*,0〉是一个偏序BCH-代数,则它的可换序半群(X,+,≤)的核就是X 的p-半单部分,即Ker(X)=L(X).

证明 由于0∈L(X),所以L(X)是X的非空子集.∀x∈X,∀a∈L(X),由引理7的(1)知,x+a=a+x=0*[(0*a)*x]∈L(X);∀b∈X,∀a∈L(X),若b≤a,即b*a=0,由引理7的(2)得,b=a∈L(X).所以,L(X)是(X,+,≤)的理想.设I是(X,+,≤)的任一理想,由定理4上面的说明知,0∈I;∀a∈L(X),有a=0*(0*a)=0*[(0*0)*a]=0+a∈I,从而L(X)⊆I.所以,L(X)是可换序半群(X,+,≤)的最小理想,即Ker(X)=L(X).

由定理4和引理7的(1)立即有推论1.

推论1 偏序BCH-代数〈X;*,0〉的可换序半群(X,+,≤)的核 Ker(X)={0*x|x∈X}.

若偏序BCH-代数〈X;*,0〉是BCHK-代数,则L(X)={0}.反之,若L(X)={0},则∀x∈X,由引理7的(1)得,0*x=0,因此有推论2.

推论2 偏序BCH-代数〈X;*,0〉是偏序BCHK-代数当且仅当其可换序半群(X,+,≤)的核Ker(X)={0}.

推论3 偏序BCH-代数〈X;*,0〉是p-半单BCI-代数当且仅当其可换序半群(X,+,≤)是单序半群.

证明 必要性.如果〈X;*,0〉是p-半单BCI-代数,即L(X)=X,由定理4得,Ker(X)=X,故可换序半群(X,+,≤)只有一个理想,因此它是单序半群.充分性.因X本身是(X,+,≤)的理想,由定理4知,最小理想Ker(X)=L(X),又(X,+,≤)是单序半群,只有一个理想,故X=L(X),即偏序BCH-代数〈X;*,0〉是p-半单BCI-代数.

定理5 设偏序BCH-代数〈X;*,0〉的可换序半群为(X,+,≤),则核 Ker(X)=L(X)是(X,+,≤)中的最大群.

证明 ∀x,y∈Ker(X),由于 Ker(X)是(X,+,≤)的理想,所以,x+y∈Ker(X);∀x∈Ker(X)=L(X),因0∈Ker(X),所以,0+x=0*(0*x)=x,即0是 Ker(X)的单位元;另外,∀x ∈Ker(X),由推论1知,0*x∈Ker(X),又由引理1,知(0*x)+x=0,故0*x是x 的逆元,因此,核Ker(X)是(X,+,≤)中的群.

设Y 是(X,+,≤)中的任意群,e是Y 的单位元,则∀y∈Y 有,e+y=y,即0*[(0*e)*y]=y,令y=0,由引理3的(3),得0*(0*e)=0,两端右乘e,由 H-3,H-1,得0*e=0,利用此式,在0*[(0*e)*y]=y中,令y=e,得e=0,这说明0是Y 的单位元,从而只要y∈Y,就有0+y=0*(0*y)=y,即y∈L(X)=Ker(X),所以,Y⊆Ker(X).这就证明了核 Ker(X)=L(X)是(X,+,≤)中的最大群.

定理6 设I是偏序BCH-代数〈X;*,0〉的非空子集,则I为X 的核的充要条件是I既是可换序半群(X,+,≤)的理想又是群.

证明 设I=Ker(X),由定义4和定理5可知,I既是(X,+,≤)的理想,又是其中的群.反过来,如果I既是 (X,+,≤)的理想,又是其中的群,又由定义4和定理5可知,Ker(X)⊆I,且I⊆Ker(X),故I=Ker(X).

[1] 杨闻起.BCH-代数生成的导出半群[J].科技通报,2012,28(3):6-8,11.

[2] 杨闻起.BCI-代数的加法序半群的理想[J].西安石油大学学报,2011,26(6):105-107.

[3] 李金龙.偏序BCH-代数的一种自映射[J].河北大学学报,2006,26(3):242-245.

[4] 胡庆平.BCI-代数[M].西安:陕西科学技术出版社,1987.

[5] 李金龙.拟结合BCH-代数[J].黄冈师范学院学报,2003,23(3):19-21.

[6] 李金龙,陈涛,房丽英.BCH-代数的结合部分[J].喀什师范学院学报,2004,25(3):5-7.

[7] 李金龙.BCH-代数与广义结合BCI-代数的关系[J].汉中师范学院学报,2002,20(2):25-29.

[8] 李金龙.关于BCH-代数原子与分支的一些性质[J].昭通师范高等专科学校学报,2003,25(2):22-25.

[9] 祝清顺,青天福.关于序半群的核[J].信息工程大学学报,2008,9(4):292-293.

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