弱混合与混沌

王立冬，曹红光，梁建华

(1.吉林大学 数学学院，吉林 长春130012;2.大连民族大学 理学院，辽宁 大连116605)

长期以来，轨道渐近性质的研究是动力系统的中心问题。20 世纪60 年代以前，确定论是科学研究的主导思想，但是随着气象学和生态学中许多自然现象的出现，学者们意识到随机性与不可确定性的重要性。

然而，很长一段时间内，数学界并没有一个明确的混沌的定义。直到1975 年，李天岩和Yorke［1］第一次用数学语言给出了混沌的定义。D被称作f 的一个Li-Yorke 混沌集，如果对D 内任意不同的两点x，y 满足d(fn(x)，fn(y))＞0，(fn(x)，fn(y))=0。f 被称作Li -Yorke 混沌的，如果存在一个不可数的混沌集。

从此，混沌的研究对动力系统产生了重要的影响。根据迭代映射在度量空间上的不同性质，人们给出了很多种混沌的定义。传递性和敏感性在这些定义中是很重要的性质。映射f 是传递的当且仅当对X 中任意非空开集U，V，存在正整数n 使得fn(U)∩V≠φ。称点v∈X 为f 的一个传递点，若v 的轨道orb(v，f)={fn(v):n∈N}在X 中稠密，称映射f 为敏感的，若存在ε ＞0 使得对每个非空开集U⊂X，存在x，y∈U，n∈N 使得d(fn(x)，fn(y))＞ε，其中ε 叫做f 的一个敏感常数。

1989 年，Devaney［2］给出另一种混沌的定义。在文献［3］中，Ruelle 和Takens 定义了一个新的混沌，被称作R -T 混沌。1996 年，Kato［4］称f 是混沌的，若f 满足可达性和敏感性。1999 年，Martelli［5］称f 是混沌的，如果存在x0∈X，使得x0的轨道在X 中稠密且x0的轨道是不稳定的。为了研究分布混沌和Li-Yorke 混沌之间的关系，王立冬［6］在2007 年引入了“按序列分布混沌”的概念。

近年来，人们加强了一些混沌定义的条件，又提出了许多新的混沌的定义，如强Kato 混沌、强Li-Yorke 混沌、强按序列分布混沌等。……