关于一类四元数及八元数方程解的显式表示

周玉兴,黄宗文

(1.广西师范学院师园学院，广西 南宁 530226;2.广西大学行健文理学院,广西 南宁530005)

·基础学科·

关于一类四元数及八元数方程解的显式表示

周玉兴1,黄宗文2

(1.广西师范学院师园学院，广西 南宁 530226;2.广西大学行健文理学院,广西 南宁530005)

运用初等求根方法研究形如x2=x0(其中x,x0为四元数或八元数)的方程的解,获得其解的显式表示,并给出数值例子。

四元数;八元数;方程解；显式表示

本文运用初等求根方法去求解形如x2=x0(其中x,x0为四元数或八元数)的方程,得到它们解的显式表示。此解的显式表示比文献[1- 4]方程中的特殊情形解的表示更为简洁。

此外, 本文还给出了相应的数值例子。

1 相关定义

设四元数是指具有如下形式的数：q=a0+a1i+a2j+a3k：ai∈R(i=0,1,2,3),且i2=j2=k2=-1,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j[6]。

eαe0=e0eα,α=0,1,2,…,7：eαeβ=-δαβe0+fαβγeγ,α,β,γ=1,2,…,7：fαβγ=1,当(α,β,γ)

具有下列下列形式之一：

(1,2,3),(4,7,1),(2,5,7),(1,6,5),(6,2,4),(5,4,3),(7,5,6)[7]。

2 主要结果

证明 设q=a+bi+cj+dk,(a,b,c,d∈R),经计算化简得q2=a2-b2-c2-d2+2abi+2acj+2adk=a0+b0i+c0j+d0k。

比较两端系数得：

注1：由定理1证明中得到：若a=0,则方程有解条件是a0=-b2-c2-d2≤0,b0=c0=d0=0。

经计算化简得

2x0x6e6+2x0x7e7=λ0+λ1e1+λ2e2+λ3e3+λ4e4+λ5e5+λ6e6+λ7e7。

比较两端系数得：

整理得

(7)

3 数值例子

例1 设q2=i+j,求q。

解 由定理1得

例2 设q2=1+2i+2j-4k,求q。

解 由定理1得

例3 设q2=-1,求q。

解 显然a=0。由注1得,-1=-b2-c2-d2, 即1=b2+c2+d2；

当c=d=0时,b=±1,即q=±i；

当b=d=0时,c=±1,即q=±j；

当b=c=0时,d=±1,即q=±k。

因此,q=±i,q=±j,q=±k是方程的特解，显然方程有无穷多解。 其解集为

{a+bi+cj+dk：a=0,b2+c2+d2=1}。

例4 设x2=2e1+e4-3e5-e6+e7,求x。

[1]Huang L, So W. Quadratic Formulas for Quaternions[J]. Applied Mathematics Letters, 2002(15):533-540.

[2]丰静,程学翰. 四元数二次方程解的显式表示[J]. 湖南农业大学学报：自然科学版,2008,34(3):369-373.

[3]Yik Hoi,Au Yeung. An Explicit Solution for the Quaternionic Equation [J]. Southeast Asian Bulletin of Mathematics,2002 (26)：717-724.

[4]黄志坚,李兴民. 八元数二次标准方程的根的研究[J]. 广州广播电视大学学报,2007,23(2):44,54,64,74.

[5]周玉兴,杨益党,刘旭琴. 关于四元数及八元数乘法的两个恒等式[J].阜阳师范学院学报：自然科学版,2013,30(4):12-14.

[6]李文亮. 四元数矩阵[M]. 长沙：国防科技大学出版社, 2002.

[7]李兴民. 八元数分析[D]. 北京： 北京大学,1998.

(编校：叶超)

Explicit Solutions on a Class of Quaternions Equation and Octonions Equation

ZHOU Yu-xing1,HUANG Zong-wen2

(1.CollegeofShiyuan,GuangxiTeachersEducationUniversity,Nanning530226China;2.GuangxiUniversityXingJianCollegeofScienceandLiberalArts,Nanning530005China)

Elementary algebra method is applied to solve equations such asx2=x0,wherex,x0are quaternions or octonions. The explicit solutions of equations are obtained. and the solution approach is demonstrated with some numerical examples.

quaternions; octonions; solution of equation; explicit representation.

2014-04-30

国家自然科学基金项目(11161006)；广西自然科学基金项目(2013GXNSFAA019015)

周玉兴(1973—)，男，讲师，硕士，主要研究方向为数值代数和矩阵分析。

O151.23

A

1673-159X(2015)05-0059-04

10.3969/j.issn.1673-159X.2015.05.011