在黎曼流形上α -型(π,ω)半对称非度量联络的常曲率条件

许达允，　全哲勇，　朴东哲

( 1.金日成综合大学 数学系， 平壤； 2.延边大学理学院 数学系， 吉林 延吉 133002 )



在黎曼流形上α -型(π,ω)半对称非度量联络的常曲率条件

许达允1，全哲勇1，朴东哲2*

( 1.金日成综合大学 数学系， 平壤； 2.延边大学理学院 数学系， 吉林 延吉 133002 )

摘要：在黎曼流形上定义了一个α-型(π,ω)半对称非度量联络，研究了其常曲率条件,同时讨论了其联络的相互连络的常曲率条件. 半对称非度量联络； 相互联络； 常曲率 O186

文献标识码：A

A.Fridman等[1]首次提出黎曼流形上的半对称联络概念后，文献[2]利用非对称度量联络的思想[3]定义了半对称度量联络，并研究了其性质.在此基础上，文献[4]的作者对半对称度量联络做了更进一步的探讨.文献[5-6]把Levi-Civita联络与射影等效的半对称联络定义为射影半对称联络, 并研究了它的一些性质；文献[7-8]研究了半对称联络与度量联络的物理模型；文献[9-10]研究了度量联络与非度量联络的常曲率条件.本文利用已存在的半对称非度量联络，定义一个新的α-型(π,ω)半对称非度量联络，并研究该联络的几何学性质，同时还研究了α-型(π,ω)半对称非度量联络的常曲率条件和相互连络的常曲率条件.

1α -型(π,ω)半对称非度量联络

定义1黎曼流形(M,g)中的联络称为α-型(π,ω)半对称非度量联络，如果它满足如下关系:

(1)

其中α∈R且ω,π是1-型.

定义1中的α-型(π,ω)半对称非度量联络是一个以α为参数的联络族，它的联络系数为：

(2)

如果α=0， 则0-型(π,ω)半对称非度量联络满足：

(3)

如果α=1， 则1-型(π,ω)半对称非度量联络满足:

(4)

如果α=2， 则2-型(π,ω)半对称非度量联络满足:

(5)

α-型(π,ω)半对称非度量联络的曲率张量是

(6)

其中：

(7)

(8)

2α -型(π,ω)半对称非度量联络的常曲率条件

如果在黎曼流体的任何点P的截面曲率与二维子空间的选择无关，则曲率张量为

(9)

在此情形下，若K是常数，则联络为常曲率联络.

定理1在连接的黎曼流体(M，g) (dimM≥3)上，α-型(π,ω)半对称非度量联络为常曲率联络的充要条件是

(α-2)ωh+φh=0.

(10)

证明把式(9)代入式(8)可得

把gjk乘于上式并整理可得

对i和l进行整理可得

(11)

在式(11)中可以看出，当n≥3时K取常数的充要条件是式(10)成立.式(10)是n≥3的情况下，K是常数的充要条件.

由定理1可知，在连接的黎曼流形(M,g) (dimM≥3)上，可以给出满足Schur定理的α-型(π,ω)半对称非度量联络的3种类型：

1)如果α=0 (2ωh=φh) ， 则

2)如果α=1 (ωh=φh)， 则

文献[12]虽研究了此联络，但并未提及常曲率联络.

3)如果α=2 (φh=0)， 则

此联络是Amari -chenstov联络的一种[4].

3α -型(π,ω)半对称非度量联络的相互联络的常曲率条件

(12)

(13)

(14)

其中：

定理2在黎曼流体(M，g) (dimM≥3)上，α-型(π,ω)半对称非度量联络的相互联络是常曲率的充要条件为

(α-2)ωh+2φh=0.

(15)

得

将gjk乘于上式并整理后得

对i,l进行整理可得

(16)

在式(16)中可以看出，当n≥3时K取常数的充要条件是式(15)成立.式(16)是n≥3的情况下，K是常数的充要条件.

由定理2可以看出，在连接的黎曼流形上可以给出满足Schur定理的α-型(π,ω)半对称非度量联络的相互联络的3种类型：

1)如果α=0 (ωh=φh)， 则:

(17)

2)如果α=1 (ωh=2φh)， 则:

(18)

3)如果α=3 (φh=0)， 则:

(19)

这3种联络是具有常曲率的非度量联络.

参考文献：

[1]Fridman A, Schouten J A. Uber die geometric der halb-symmerschen uber tragungen[J]. Math Zeitschrift, 1924,21:211-233.

[2]Indranu Suhendro. A new semi-symmetric unified field theory of the classical fields of gravity and electromagnetism[J]. Progress in Physics, 2007,4：47-62.

[3]Hayden H A. Subspaces of a space with torsion[J]. Proc of London Math Soc, 1932,34：27-50.

[4]Muniraja G. Manifolds admitting a semi-symmetric metric connection and ageneralization of Schur’s theorem[J]. Int J Contemp Math Sci, 2008,3(25/28)：1223-1232.

[5]Hong Van Le. Statistical manifolds are statistical models[J]. J Geom, 2005,24:83-93.

[6]Zhao P B. Some properties of projective semi-symmetric connections[J]. International Mathematical Forum, 2008,3(7)：341-347.

[7]Dunn K A. A geometric model for scalar-tensor theories of gravitation tensor[J]. N S， 1775,29：214-216.

[8]Han Yanling, Ho Talyun, Zhao Peibiao. Some invariants of quarter-symmetric metric connections under projective transformation[J]. Filomat， 2013,27(4)：679-691.

[9]Lam K S, Chern S S, Chen W H. Lectures on Differential Geometry[M]. Singapore: World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 1999.

[10]Ho Talyun. On the projective semi-symmetric connection and conformal semi-symmetric connection on the Riemannian manifold[J]. Journal of Kim Il Sung University (Natural Science), 2013,2(2)：3-10.

[11]Zhao P B, Song H Z. An invariant of the projective semi-symmetric connection[J]. Chinese Quarterly J of Math, 2001,16(4)：49-54.

[12]Agache N S, Chalfe M R. A semi-symmetric non-metric connection on a Riemannian manifold[J]. Indian J Pure Appl Math,1992,20(6):309-409.

A constant curvature condition ofα-type (π,ω) semi-symmetric non-metric connection in a Riemannian manifold

HO Talyun1，JEN Cholyong1，PIAO Dongzhe2*

( 1.DepartmentofMathematics，KimIISungUniversity，Pyongyang，DPRK； 2.DepartmentofMathematics，

CollegeofScience，YanbianUniversity，Yanji133002，China)

Abstract：We defined anα-type (π,ω)-semi-symmetric non-metric connection in a Riemannian manifold and studied its constant curvature condition. And we studied constant curvature condition of a mutual connection of this contact.

Key words：semi-symmetric non-metric connection； mutual connection； constant curvature

文章编号：1004-4353(2015)04-0275-04

*通信作者：朴东哲(1960—)，男，副教授，研究方向为微分几何.

收稿日期：2015-11-16