分数阶R-F系统的混沌行为及其同步研究

顾芬华，赵小山，龚汉坤，孔德富

（天津职业技术师范大学理学院，天津 300222）

分数阶R-F系统的混沌行为及其同步研究

顾芬华，赵小山，龚汉坤，孔德富

（天津职业技术师范大学理学院，天津 300222）

针对R-F系统和Lorenz系统，研究了分数阶混沌系统间的混合投影同步。基于分数阶混沌系统的Routh-Hurwitz条件，分析了分数阶R-F系统的平衡点的稳定性；设计合理的控制器使分数阶R-F系统和Lorenz系统达到同步，并基于分数阶稳定性理论，给予严格证明。最后，借助于预估-矫正方法，利用数值模拟验证了该方法的有效性。

分数阶微分；投影同步；预估矫正；控制器

近十几年来，分数阶混沌现象引起了人们的广泛关注，尤其是人们发现了分数阶Chua′s电路、分数阶Chen系统、分数阶Lorenz系统[1]、分数阶Liu系统等系统之后，对分数阶混沌系统的研究更是成为近几年的热点。而混沌系统之间的同步研究也逐渐受到关注，并且已取得了一些成果[2-7]。投影同步是Mainieri和Rechacek在1999年研究部分三维混沌系统时观察的现象，Xu[8]又分别给出了三维和任意维部分线性系统实现投影同步的条件，并应用于数字安全通信领域。之后投影同步受到广泛关注并被推广到其他情形，如全状态混合投影同步、修正投影同步、广义投影同步等。

本文基于分数阶混沌系统稳定性理论，分析了分数阶Rabinocich-Fabrikant系统（分数阶R-F系统）在平衡点的稳定性，通过设计合理的控制器，实现了分数阶R-F混沌系统和分数阶Lorenz系统间的混合投影同步。

1 分数阶微分定义

在研究分数阶微积分时，对微分和积分的概念提出了许多种定义，应用较多的是Caputo定义和Riemann-Liouville（R-L）定义，本文应用的是Caputo定义[9]：

式中：m=[α]+1；Jθ为θ阶Riemann-Liouville积分算子，其定义为：

其中，Γ（·）为Gamma函数。

2 分数阶混沌系统的混合投影同步

分数阶驱动系统和响应系统可写成如下形式：

式中：A∈Rn×n，B∈Rn×n均系统的线性部分；F∶Rn→Rn，G∶Rn→Rn均为系统的非线性部分；U为响应系统的控制器。

定理1 考虑如下三维分数阶系统：

若系统（5）在平衡点处的Jacobian矩阵（6）的特征值满足，则系统（5）就是渐近稳定的。

系统在平衡点处的Jacobian矩阵（6）的特征多项式为：

则它的判别式为：

则平衡点处的稳定性由以下分数阶 Routh-Hurwitz条件决定：

（a）如果D（P）＞0，那么平衡点全局渐近稳定的充分必要条件为a1＞0，a3＞0，a1a2-a3＞0。

（b）如果D（P）＜0，a1≥0，a2≥0，a3＞0，则当α＜2/3时，平衡点是全局渐近稳定的；如果D（P）＜0，a1＜ 0，a2＜0，α＞2/3则（5）所有的特征值都满足απ/2。

（c）如果D（P）＜0，a1＞0，a2＞0，a1a2-a3=0，那么对于所有的0＜α＜1，平衡点都是全局渐近稳定的。

（d）平衡点全局渐近稳定的必要条件是a3＞0。

定理2 定义系统（3）和系统（4）的误差为e=y-Cx，其中实矩阵C∈Rn×n是缩放矩阵，C=diag（[c1，c2，…，cn]），其中ci（i=1，2，…，n）为不全相等的实数，e=（e1，e2，…，en）T，ei=yi-Cxi（i=1，2，…，n）。如果，则误差系统稳定，也即驱动系统（3）和响应系统（4）实现了混合投影同步。

命题1 为系统（3）和系统（4）选取合适的控制器

其中K∈Rn×n是增益矩阵，如果矩阵B+K的特征值λi满足：

则系统（3）和系统（4）实现了混合投影同步。

证明 已知系统（3）和系统（4）的误差系统为：

将式（9）代入式（10），得到误差系统为：

3 数值模拟

3.1 分数阶R-F系统平衡点稳定性分析

分数阶R-F系统为：

式中：x1、x2、x3为系统的状态变量；a、b、c为系统的参数。

可解得R-F系统有5个平衡点：E1（0，0，0），E2（-1.479 7，0.743 4，0.542 2），E3（1.479 7，-0.743 4，0.542 2），E4（0.518 266 7，-2.122 46，0.943 84），E5（-0.518 266 7，2.122 46，0.943 84）。

当a=0.87，b=0.87，c=1.1时的特征多项式为：

系统在平衡点E1（0，0，0）处的特征多项式（14）变为：

解得式（15）的特征值为λ1=-2.2，λ2，3=0.87±i，λ1是负实根，arg（λ2，3）的绝对值为0.854 8，所以，对于任意的α＜0.544 186，E1（0，0，0）都是稳定的。

系统在平衡点E2（-1.479 7，0.743 4，0.542 2）处的特征多项式（14）变为：

解得式（16）的特征值为λ1=-0.554694，λ2，3=0.0473469 ±3.666 29i，λ1是负实根，arg（λ2，3）的绝对值为1.557 88，所以，对于任意的α＜0.991，E2（-1.479 7，0.743 4，0.542 2）是稳定的。同理当α＜0.991，E3（1.479 7，-0.743 4，0.542 2）也是稳定的。

系统在平衡点E4（0.518 266 7，-2.122 46，0.943 84）处的特征多项式（14）变为：

P（λ）=λ3+0.46λ2+8.224 9λ-12.981 3 （17）

解得式（17）的特征值为λ1=1.252 01，λ2，3=-0.856± 3.104i，λ1是正实根，所以，对于任意的0＜α＜1，E4（0.518 2667，-2.122 46，0.943 84）是不稳定的。同理当0＜α＜1时，E5（-0.518 266 7，2.122 46，0.943 84）也是不稳定的。

经过上述分析可知，当a=0.87，b=0.87，c=1.1，α=0.993时，系统存在混沌吸引子，其混沌吸引子图如图1所示，吸引子在x-y平面、x-z平面和y-z平面的投影如图2所示。

图1 分数阶R-F系统的混沌吸引子

3.2 分数阶R-F系统和分数阶Lorenz系统的同步分析

分数阶Lorenz系统为：

式中：δ=10，γ=28，β=8/3，α=0.993时系统出现混沌，其混沌吸引子如图3所示。

图2 分数阶R-F混沌系统的吸引子相图

图3 分数阶Lorenz系统的混沌吸引子

令分数阶R-F系统和分数阶Lorenz系统分别做驱动系统和响应系统，它们可以分别写成系统（3）和（4）的形式，其中

由命题1，选择控制器U=CAx+CF（x）-BCx-G（y）+Ke，K∈Rn×n，则误差系统为：

由命题1存在一个增益矩阵K使得系统（12）和系统（18）实现投影同步，令：

图4 分数阶R-F混沌系统的吸引子相图

4 结束语

基于分数阶微积分理论，介绍预估-矫正算法，基于分数阶混沌系统稳定性理论，设计控制器，并给出理论证明，从而使得分数阶R-F混沌系统和分数阶Lorenz系统达到混合投影同步，最后基于预估-矫正算法，数值模拟证明了该同步方法的有效性。

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Chaos in fractional order R-F system and its synchronization

GU Fen-hua，ZHAO Xiao-shan，GONG Han-kun，KONG De-fu
（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

In view of the fractional order R-F system and the fractional order Lorenz system，the hyper projective synchronization between them are studied in this paper.First，the stability of its equilibrium points based on the fractional order Routh-Hurwitz stability conditions is analyzed.Then，a reasonable controller is designed to synchronize the two systems and proved by using the fractional stability theory.At last，numerical simulation results show that the method is effective and reliable for synchronizing the systems.

fractional derivative；projective synchronization；Adams-Boshforth-Moulton；controller

O415.5

A

2095－0926（2015）01－0035－04

2014-12-05

国家自然科学基金资助项目（11302148，11302158）.

顾芬华（1989—），女，硕士研究生；赵小山（1967—），男，副教授，硕士生导师，研究方向为非线性动力系统分析.