两类ω－超广义函数空间的结构表示

薛 琳

（洛阳师范学院 数学科学学院，洛阳471022）

0 引 言

为了更好地解决微分方程理论中出现的各种问题，Bonet，Meise，Taylor和Vogt等人在20世纪80 年代借助于权函数引入了ω－超可微函数和ω－超广义函数，从而扩充了广义函数的概念［1－10］，也使得ω－超广义函数理论的研究成为一个持续的热点．由于ω－超广义函数空间构造的复杂性，使得问题的研究变得十分困难．Hörmander［6］和Bonet，Meise，Taylor［1，3－11］等人注意到：超广义函数空间与某些实解析函数空间之间可以通过Fourier－Lapalace变换建立起某种拓扑同构关系．所以，利用实解析函数空间来研究超广义函数空间的结构和特性成为一个有效可行的方法．

在文献［12］中，利用Fourier－Laplace变换探讨 了 四 类 加 权 的 实 解 析 空 间A（ω）（CN，Ω），A｛ω｝（CN，Ω）和A｛ω｝（CN，Ω），A｛ω｝（CN，Ω）以 及它们和ω－超可微函数和ω－超广义函数之间的关系，给出了两类ω－超可微函数和ω－超广义函数的某种结构表示．本文在更为一般的开集上进一步地讨论了D′＊（Ω）上的结构表示问题；另一方面，还把文献［12］定理2．6中｛E′＊（Ω）的结果从开凸集进一步扩展到了一般的开集，得到：

定理1 设ω 是非伪解析的权函数，Ω 是RN中的开集，令Λ（ω）＝｛σ∶σ 是权函数，σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）｝，则有φ（0）＝0并且

取

定理2 设ω 是任意的权函数，Ω 是RN中的开集，令Λ（ω）＝｛σ∶σ 是 权 函 数，σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）｝，则有

称之为φ 的Young共轭．

定义2 设K 为RN中的紧集，记hK：RN→称之为K 的支撑函数，这里

1 预备知识

首先给出文中所用到的基本概念和预备知识．其中的记法和符号可参见文献［1－6］．

定义1 1）设ω 是［0，∞）→［0，∞）上连续，单增的函数，并且ω｜［0，1］＝0．如果ω 满足下列条件：

（α）存在L≥1，使对任取的t≥0，都有ω（2t）≤L（1＋ω（t））；

（δ）φ：［0，∞）→［0，∞），φ（t）＝ω（et）为凸函数．

则称ω 为一个权函数．对z∈CN，记ω（z）＝ω（｜z｜），其中

2）对于权函数ω，如果

利用权函数，来构造ω－超可微函数空间和ω－超广义函数空间：

定义3 设ω 为定义1中函数，满足条件（α）～（γ），K 为RN中的紧集．

1）对λ＞0，定义Banach空间

2）利用Dλ（K），定义

其中，拓扑分别取为归纳极限拓扑和投影极限拓扑．

3）对RN中的开集Ω，定义

则称ω 是伪解析的．反之，如果积分有限，则称ω是非伪解析的．

3）设φ 是［0，∞）→［0，∞）的单增凸函数，

这里的归纳极限取遍Ω 中所有的紧子集K，D（ω）（Ω）及D｛ω｝（Ω）中的元素分别称为Beurling型和Roumieu型试验函数．

定义4 设ω 为权函数，Ω 为RN中的开集，定义

和

注1 设ω 为定义1中函数，并满足条件（α）～（γ），设Ω 是RN中开集，易知

1）D｛ω｝（Ω）⊂D｛ω｝（Ω）；当σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）时，D｛ω｝（Ω）⊂D（σ）（Ω）．

2）E｛ω｝（Ω）⊂E｛ω｝（Ω）；当σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）时，｛E｛ω｝（Ω）⊂E（σ）（Ω）．

并且，上面相应的包含映射都是连续的．

如果一 个 命 题 对 于E｛ω｝和E（ω）（或 者D｛ω｝和D（ω）都成立时，为方便计，用E＊（或者D＊）来代替E｛ω｝和E（ω）（或者D｛ω｝和D（ω））．

定义5 用E′

＊（Ω）和D′＊（Ω）分别表示E＊（Ω）和D＊（Ω）的强对偶空间，即E＊（Ω）上和D＊（Ω）的线性连续泛函全体所形成的空间．

定义6 设ω 是权函数，Ω 是RN中的开凸集．对u∈E′

＊（Ω），定义：

称之为u 的Fourier－Laplace变换．为方便计，＾u和F（u）都表示u的Fourier－Laplace变换．

定义7 设Ω 是RN中的开凸集，对Ω 中的任意紧集K 和非零常数λ，定义Banach空间

其中H（CN）为CN上的整函数空间．由此，可以定义下列实解析函数空间空间：

注2 由定义易证：

2 主要的结论和证明

引理1［11］设ω 是权函数，Ω 是RN中的开凸集，令Λ（ω）＝｛σ：σ是权函数，σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）｝，则有

引理2［12］设ω 是权函数，ω（t）＝o（t）（t→∞），ω 是RN中的开凸集，则Fourier－Laplace变换

是线性拓扑同构映射．

引理3［12］设ω 是权函数，Ω 是RN中的开凸集，则Fourier－Laplace变换

是线性拓扑同构映射．

定理3 设ω 是非伪解析的权函数，Ω 是RN中的开集，令Λ（ω）＝｛σ：σ 是权函数，σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）｝，则有

证明 首先，易知当σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）时，有从而下面，来证明相反的包含关系成立．

对于开集Ω，取一个紧集列｛Kn｝，使得

对于任给的u∈D′｛ω｝（Ω），u 可以表为

那么，由E′｛ω｝（Ω）与A｛ω｝（CN，Ω）线性拓扑同构（引理3）以及A｛ω｝（CN，Ω）的构造即可知，gj＝o（ω）．由此，由文献［5］命题1．9及注1．8，存在权函数δ使对所有的j有

记Γ 为Ω 的凸壳．那么，由引理3和式（1）可知，uj∈E′（σ）（Γ）．另一方面，由suppuj⊂Kj＋2＼Kj，可见∑∞j＝1uj在Ω 中是局部有限的．因此，∑∞

j＝1uj在

D′（σ）（Ω）中收敛．所以，u∈D′（σ）（Ω）．故有命题得证．

依照定理3的方法，可以证明同样的结论对于E′｛ω｝（Ω）也成立，即：

推论1 设ω 是非伪解析的权函数，Ω 是RN中的开集，那么

由引理1，2及3，在文献［12］中得到了下面关于ω－超广义函数空间E′＊（Ω）的一个结构表示定理：

定理4［12］设ω 是任意的权函数，Ω 是RN中的开凸集，令Λ（ω）＝｛σ：σ 是权函数，σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）｝，则有

现在，把这一结果推广到更为一般的开集中去：为此，先介绍一个引理：

引理4［9］设ω 是伪解析的权函数，K1，K2是RN中的紧子集．那么，对任取的supp（u）⊂K1∪K2，存在u1，u2∈E′｛ω｝（RN），且supp（uj）⊂Kj（j＝1，2），使得u＝u1＋u2成立．

定理5 设ω 是任意的权函数，Ω 是RN中的开集，令Λ（ω）＝｛σ：σ 是 权 函 数，σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）｝，则有

证明 对RN中的开集Ω，当ω 是非伪解析的权函数时，推论1已经给出结论：

下面，考虑ω 为伪解析的权函数时的情况．

若Ω 为RN中的开凸集，由定理4已得．

现在设Ω 为RN中的任意开集．

设u∈E′｛ω｝（Ω），K＝supp（u）．则K 为RN中的紧集．由有限覆盖定理，在Ω 中可选取有限多个开凸集Ωj，使得K⊂∪Ωj．由引理4，对每个j，可取使得

又由定理4，对每个j，存在权函数σj，使得

现取σ＝max｛σj｝，则对每个j有

另一方面

是显然的．命题得证．

［1］Bonet J，Braun R W，Meise R，et al．Whitney’s extension theorem for non－quasianalytic classes of ultradifferentiabl functions［J］．Studia Math．，1991，99（2）：155－184．

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