含铸钢节点钢结构的随机结构分析

赵 静 靳 慧 宫维佳

(东南大学土木工程学院，南京210096)

(东南大学江苏省高校工程力学分析重点实验室，南京210096)

近年来铸钢节点在钢结构中得到越来越广泛的应用，并在一些重要工程中逐渐取代钢管相贯线焊接节点［1］.铸钢节点的静力分析及施工设计方面的理论已日趋成熟，在疲劳性能方面的研究也逐步丰富.国外研究较多的是桥梁工程中典型的K形铸钢节点疲劳性能［2］;在国内，东南大学开展了铸钢节点材料和焊缝的疲劳强度试验，并就铸钢节点和焊缝的疲劳数值计算进行了研究［3-4］.

铸钢节点部分材料的匀质性相对较差［5-6］，尤其是焊接部位或缆线结合部位［7］.此外，铸钢节点经常会存在裂纹、缩松、气孔等内部或外部缺陷.宏观缺陷均要进行缺陷补修，细观缺陷则难以被检测到，故铸钢件中难免会存在初始铸造缺陷.Hardin等［8-9］通过试验发现细观缺陷尺寸与材料的弹性模量成负相关性，缺陷越大，材料弹性模量越小.因此，本文采用弹性模量来反映材料铸造缺陷.基于随机场局部平均理论，利用弹性模量随机场网格量化铸钢节点缺陷概率分布信息，计算各随机变量敏感度，找出铸钢节点材料的重要敏感随机区域，对随机场网格进行二次划分.

1 铸钢桁架结构有限元模型

在整体钢桁架结构分析过程中，一般采用梁杆单元建模方法，将铸钢节点简化为1 个节点，并未考虑铸钢材料的随机性.如要反映节点的材料和几何信息，则需建立包含局部节点的精细模型，即梁单元构件与节点壳单元构件之间的连接为刚性连接，从位移协调的角度出发，在跨层次界面处建立节点位移约束方程来满足位移协调性［10］.采用刚性区域法建立包含铸钢节点局部细节的钢桁架跨层次有限元模型(见图1).腹杆与梁采用BEAM188 单元，通过共节点连接.图1(a)中包含16 个1#截面梁单元、24 个2#截面梁单元、8 个3#截面梁单元、12 个4#截面梁单元.铸钢节点位于下弦杆中间，采用SHELL63 单元，支管厚度为10 mm，主管厚度为12 m，共计3 499 个壳单元(见图1(c)).均布荷载q=33.333 kN/m，加在上弦杆上，方向如图1(a)所示，桁架两端约束为铰接.

2 结构性能对铸钢节点弹性模量的敏感性分析

2.1 横向敏感性分析

图1 整体结构有限元模型(单位:mm)

横向对比是指铸钢材料和钢梁钢管材料之间的对比.E1为结构中钢梁钢管构件的弹性模量，带有铸造缺陷的铸钢节点的材料用弹性模量E2来描述.根据参考文献［8］中含铸造缺陷最多的铸钢弹性模量数值统计，设E2为服从均值为1.44 GPa、变异系数为0.16 的正态分布随机变量，并设E1为服从均值为2.10 GPa、变异系数为0.05 的正态分布随机变量［11］.

结构最大等效应力及最大弯曲应力可以反映结构的强度性能，结构的最大位移可反映结构的刚度性能，结构中压杆的压应力可反映结构的稳定性性能.本文中，通过钢桁架结构计算发现，最大等效应力、最大弯曲应力、最大位移及压杆最大应力分别位于图2中A，B，C，D 点.在蒙特卡洛模拟计算中，以结构最大等效应力Ss、最大弯曲应力Sb、最大位移d、压杆最大应力Sp为输出变量，考察各输出变量对结构的2 种钢材E1，E2随机性的敏感度.蒙特卡洛模拟次数为500 次，模拟结束后各输出变量的均值和标准差均趋于平稳，模拟次数满足敏感性分析的要求.

图2 各输出变量位置

E2与E1的敏感度对比分析结果见图3.由图可知，Ss，Sb，Sp对E2的敏感度约为对E1的3 倍.因此，铸钢材料弹性模量的随机性是影响结构整体性能的不可忽略的因素.

图3 输出变量对E1，E2 的敏感度

2.2 纵向敏感性分析

纵向敏感性分析是指保持其他变量不变的情况下，只研究某一变量的灵敏度影响因素.此处，保持E1不变，通过改变铸钢弹性模量的均值uE2和变异系数v 来研究铸钢节点的材料随机性对结构性能的影响.为方便研究各因素对结构安全性影响的变化趋势，取结构失效概率f 为参照.设结构等效应力临界值为135.1 MPa，弯曲应力临界值为34.17 MPa，位移临界值为－4.75 mm，压杆压应力临界值为－94.5 MPa.试验中，取uE2=1.97，1.70，1.44 GPa，v=0.08，0.09，0.10，0.11，0.12，0.13，0.14，0.15，0.16，对由此组合而成的27 种工况进行模拟计算.绘制概率密度曲线时，选取uE2=1.97，1.70，1.44 GPa，v=0.08，0.12，0.16 时组合而成的9 种工况.

最大等效应力Ss的失效概率密度曲线见图4(a).由图可知，当变异系数v 一定时，铸钢弹性模量均值uE2越大，最大等效应力Ss越大，而失效概率f 则可能增大也可能减小;因为弹性模量增大时，Ss虽然增大，但如果材料的许用应力增大程度大于Ss的增大程度，也可能会导致失效概率减小，反之则可能导致失效概率增大.Ss的失效概率与变异系数关系见图5(a).由图可知，3 种情况下uE2=1.70 GPa 时，失效概率f 随变异系数v 增大的程度更明显.

图4 失效概率密度曲线

图5 失效概率与变异系数关系

最大弯曲应力Sb的失效概率密度曲线见图4(b).由图可知，变异系数v 一定时，铸钢弹性模量均值uE2越大，最大弯曲应力Sb越大，失效概率f也随之变大.由图5(b)可看出，当uE2=1.97，1.70 GPa 时，失效概率f 随变异系数v 增大的程度较uE2=1.44 GPa 时明显.

最大位移d 的失效概率密度曲线见图4(c).由图可知，当变异系数v 一定时，铸钢节点弹性模量均值uE2越大，最大位移d 越大，失效概率f 则越小.由图5(c)可知，当uE2=1.97，1.70 GPa 时，失效概率f 随变异系数v 增大而增大;当uE2=1.44 GPa 时，失效概率f 随变异系数v 增大而减小.

由图4(d)和图5(d)可知，铸钢弹性模量对结构稳定性的影响和其对结构刚度的影响类似.

由以上分析可知，铸钢材料的随机性对结构的强度、刚度和稳定性性能影响较大，需要探讨考虑铸钢材料随机性的钢结构随机分析方法.

3 铸钢节点材料随机场分析

铸钢节点初始缺陷的概率分布随位置变化而变化，具有随机场的特点［6］.Ma 等［7］通过对X 形铸钢节点进行高精度无损检测发现，铸钢节点支管与主管的相贯线附近约50 mm 区域内缺陷分布密度和大小远大于其他区域.Hardin 等［8］对3 组缺陷程度不同的铸钢材料试件进行单轴拉伸以及疲劳实验，发现缺陷的密度、大小与材料的等效弹性模量成负相关，缺陷越大，材料弹性模量越小.因此，本文采用等效弹性模量随机场来表征铸造缺陷的随机性.

随机场的离散方法主要包括中心离散法、局部平均法、插值法、局部积分法和正交展开法［13-14］.其中，局部平均法对原始数据的要求较低，是一种有效的随机场离散方法，可将连续分布的随机场根据随机场网格离散为一系列随机变量.

Vanmarcke 等［15］在关于一个悬臂梁结构的随机场分析中发现，当随机场离散后的随机变量相关时，结构响应的方差略大于随机场独立时的方差，这与理论分析结果一致.铸钢节点作为局部子结构，其弹性模量随机场离散后的随机变量的相关性对结构响应的影响可以忽略.基于局部平均理论，采用相互独立的弹性模量随机场网格描述铸钢节点缺陷随机性.

本文中，将初始随机场划分为面积大小基本相同的32 个网格，即弹性模量随机场离散为32 个随机变量(见图6).相贯线处缺陷出现概率最大位置的随机变量，E19，E20，E23～E32的均值为1.70 GPa，其他随机变量均值为1.97 GPa，变异系数统一设为0.16.

图6 铸钢节点初始随机场网格

对整体结构有限元模型进行蒙特卡洛模拟，得到结构强度、刚度、稳定性对各随机变量的敏感度，根据敏感度对随机场网格进行二次划分.

3.1 基于结构强度分析的随机场网格二次划分

以最大等效应力Ss为输出变量，随机场网格的随机变量敏感度见表1.根据输出变量对随机变量的敏感度和权重，合并敏感度相近的网格.将32个随机变量简化为3 个等级的随机变量和1 个确定性变量(无等级划分)，得到一个更粗的随机场网格(见图7).重新划分的随机场网格考虑了不同位置随机变量对结果影响的重要程度，较粗的随机场网格减少了随机变量的数量，从而减少了随机有限元计算量.

影响最大等效应力Ss的重要随机网格位于主管受拉区和相贯线处，其中主管受拉部位的敏感度都为负值，表明Ss和失效概率随主管受拉部位的弹性模量(E4，E16，E18，E19)增大而减小;相贯线部位的敏感度有正值也有负值，这是因为弹性模量增大时，Ss虽然增大，但如果材料的许用应力增大程度大于Ss增大程度，就可能导致失效概率减小，反之则可能导致失效概率变大.

表1 Ss 对随机场的敏感度及等级划分

图7 基于结构强度分析的随机场网格

3.2 基于结构刚度分析的随机场网格二次划分

以最大位移d 为输出变量，随机场网格的随机变量敏感度见表2，基于结构刚度分析的随机场网格二次划分见图8.由此可知，影响d 的随机网格主要位于主管受拉区与钢管连接处，且该区域的弹性模量(E16，E17，E18，E19，E20，E21，E3，E23，E2-2)越大，d 越小，失效概率也越小.

表2 d 对随机场的敏感度及等级划分

图8 基于结构刚度分析的随机场网格

3.3 铸钢节点材料随机场对结构稳定性的影响

以压杆最大应力Sp为输出变量，随机场网格的随机变量敏感度见表3，基于结构稳定性分析的随机场网格二次划分见图9.由此可知，影响Sp的随机场网格主要位于主管受拉区，Sp的绝对值随弹性模量的增大而减小，失稳概率随弹性模量E21和E20的增大而减小.

表3 Sp 对随机场的敏感度及等级划分

图9 基于结构稳定性分析的随机场网格

4 结论

1)计算了包含铸钢节点的钢桁架结构的整体结构强度、刚度及稳定性对铸钢节点弹性模量的敏感度，并进行了横向敏感性分析和纵向敏感性分析.结果表明，铸钢材料的随机性是影响含铸钢节点钢结构性能的重要因素.当铸钢弹性模量均值为1.70 GPa 时，变异系数对结构失效概率的影响较明显.

2)根据钢桁架结构强度、刚度、稳定性对铸钢材料随机场离散后各随机变量的敏感度，对随机场网格进行二次划分，得出能反映随机因素空间位置重要度的随机场网格，减少了结构随机有限元计算量.铸钢节点主管下侧受拉部位的材料随机性对结构刚度和结构稳定性影响较大，主管与支管相贯线部位的材料随机性对结构强度影响较大，这些区域应尽量提高铸造质量，在模拟时可以有针对性地在该区域重点建模和细化随机场网格，以提高计算效率和精度.

References)

［1］ 赵才其.南通体育会展中心关键力学问题的理论分析及试验研究［D］.南京:东南大学土木工程学院，2009.

［2］ Haldimann-Sturm S C，Nussbaumer A.Fatigue design of cast steel nodes in tubular bridge structures［J］.International Journal of Fatigue，2008，30(3):528-537.

［3］ 靳慧，李菁，李爱群.波浪载荷下海中观光塔铸钢节点疲劳强度验算［J］.西南交通大学学报，2010，45(5):692-697.Jin Hui，Li Jing，Li Aiqun.Checking calculation of fatigue strength for cast steel joints of offshore tour tower under wave loads ［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，2010，45(5):692-697.(in Chinese)

［4］ Jin H，Li J，Mo J，et al.Fatigue of girth butt weld for cast steel node connection in tower structure under wave loadings［J］.The Structural Design of Tall and Special Buildings，2014，23(15):1119-1140.

［5］ 赵宪忠，沈祖炎，陈以一.建筑用铸钢节点设计的若干关键问题［J］.结构工程师，2009，25(4):11-18.Zhao Xianzhong，Shen Zuyan，Chen Yiyi.Some key techniques for the design of connections of structural steel casting［J］.Structural Engineers，2009，25(4):11-18.(in Chinese)

［6］ 蔡建国，冯健，顾洪波，等.大型铸钢节点的工程应用和分析［J］.钢结构，2008，23(4):14-17.Cai Jianguo，Feng Jian，Gu Hongbo，et al.Practical application and analysis of complex cast-steel joint［J］.Steel Construction，2008，23(4):14-17.(in Chinese)

［7］ Ma A，Sharp J V.Fatigue design of cast steel nodes in offshore structures based on research data［J］.Proceedings of the ICE—Water Maritime and Energy，1997，124(2):112-126.

［8］ Hardin R A，Beckermann C.Prediction of the fatigue life of cast steel containing shrinkage porosity［J］.Metallurgical and Materials Transactions A，2009，40(3):

581-597 .

［9］ Sigl K M，Hardin R A，Stephens R I，et al.Fatigue of 8630 cast steel in the presence of porosity［J］.International Journal of Cast Metals Research，2004，17(3):130-146.

［10］ Reh S，Beley J D，Mukherjee S，et al.Probabilistic finite element analysis using ANSYS ［J］.Structural Safety，2006，28(1):17-43.

［11］ 汤轶群，李兆霞.强载荷下结构动力响应与损伤的跨尺度分析方法［J］.振动与冲击，2012，31(23):16-25.Tang Yiqun，Li Zhaoxia.Damage and dynamic response analysis for structures under strong loads with a stran-scale modeling［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(23):16-25.(in Chinese)

［12］ 聂讨东.重庆江北机场铸钢节点可靠性分析与响应面法实现［D］.重庆:重庆大学土木工程学院，2006.

［13］ 刘宁，吕泰仁.随机有限元及其工程应用［J］.力学进展，1995，25(1):114-126.Liu Ning，Lü Tairen.Stochastic finite element and engineering application ［J］.Advances in Mechanics，1995，25(1):114-126.(in Chinese)

［14］ 陈虬，刘先斌.随机有限元法及其工程应用［M］.成都:西南交通大学出版社，1993:41-55.

［15］ Vanmarcke E，Grigoriu M.Stochastic finite element analysis of simple beams［J］.Journal of Engineering Mechanics，1983，109(5):1203-1214.