线性缓冲材料对弹性杆动态屈曲影响的理论研究

李小笠，徐有峰，刘桂芝

(南京工程学院 工业中心，江苏 南京 211167)

线性缓冲材料对弹性杆动态屈曲影响的理论研究

李小笠，徐有峰，刘桂芝

(南京工程学院 工业中心，江苏 南京 211167)

通过分析两种不同类型载荷对带线性缓冲材料的弹性直杆的撞击，得到撞击条件下杆体屈曲发生的临界弹簧刚度。结合具体材料进行计算，分析了临界弹簧刚度与载荷作用时间、载荷幅值、缓冲材料和杆体长度的关系，以及缓冲材料位置对于杆体屈曲防护的影响等。所得结论为解决在不同冲击载荷作用下弹性直杆的动态屈曲防护问题提供了理论依据。

缓冲材料；弹性杆；动态屈曲；阶跃载荷

结构屈曲问题最早是在18世纪中期由Euler提出的。他从两端简支的受压理想杆体出发，给出了压杆的临界屈曲载荷，这就是著名的Euler静态屈曲方程[1]。此后的研究也异常活跃，研究内容涉及杆、板、壳、拱等各类常见结构单元在各种动载作用下的动力屈曲问题的各个方面，如屈曲准则的建立、临界载荷的确定、初缺陷的影响以及后分叉的分析等。

对于动态屈曲现象的研究，目前主要集中于理想脉冲载荷和阶跃载荷作用下的问题。前者是短时超强载荷，后者的加载速率不能忽略。实际上，这两种类型的载荷都可以简化为单一参数(即载荷的幅值[2])的载荷。此外，中等速度撞击载荷作为一种重要的动载，在实际工程应用中也经常遇到。比如舰船的梁和板受到海浪的撞击就是一种中等速度的流固载荷。中等速度撞击载荷具有中等的载荷持续时间，这一特性使得其既不同于脉冲载荷，也不同于阶跃载荷[3]，因为它需要同时考虑载荷的幅值和持续时间。

在实际生活中，要避免结构发生屈曲，除了从结构本身设计考虑外，使用一定的缓冲材料也是一种有效的解决方法。特别是对于那些可能发生屈曲的结构而言，使用缓冲材料可以吸收冲击能量，减小冲击加速度，对于结构的动态屈曲能起到减小或者消除的作用。实际上，缓冲材料已经应用于工业生产中，对受冲击的杆体或梁结构起到很好的防

护作用。缓冲材料的材料性能、结构参数对于受冲击结构的屈曲影响有多大，防止屈曲的阈值参数该如何选取，到目前为止，对这些问题的理论分析还不多见。

缓冲材料的实际弹性很复杂，主要分为线性和非线性两大类。本文主要针对线性缓冲材料，从对杆体动态屈曲分析着手，讨论缓冲材料对于杆体屈曲的影响，给出阈值条件并进行理论分析。杆体假设为理想弹性直杆，两端简支，受轴向压缩载荷作用。载荷类型分为两种，即中等速度撞击载荷和阶跃载荷。

1 基本方程

Euler-Bernoulli 梁理论[4]指出，一个简支的、长度为L的杆体受到轴向外载P作用，如图1所示。忽略杆体的剪切应力和转动惯量。在t=0时刻受到初始轴向扰动，通过对杆体的屈曲动力学分析，可以得到杆体最小弹性屈曲载荷Pcr：

式中：E为材料的杨氏模量；I为杆体横截面惯性矩。

Pcr对应杆体的一阶屈曲模态，它表示弹性纵波从杆体一端传播到另一端时，杆体恰好发生屈曲的情形。数值结果[5]和试验研究都表明，直杆的动态屈曲常发生在一阶屈曲模态下[6]。因此，本文把Pcr作为临界动态屈曲载荷用于下面的分析中，即当杆体受到的轴向力大于或等于Pcr时，就认为杆体发生动态屈曲。

2 中等速度撞击载荷作用下杆体的动态屈曲

中等速度撞击载荷可以近似看成半正弦波形式，其数学表达式如下：

式中：θ为轴向撞击载荷的频率，θ=π/t0；Pt为载荷幅值；t0为载荷持续时间。在本文中，认为t0小于弹性纵波从杆体撞击端传播到杆体另一端的时间tc(在t=tc时刻，杆体整个长度都发生轴向应变，忽略反射波的作用)。若t0=tc，则用tc代替t0进行计算。根据文献[7]，Pt=53.5kN，t0=0.018s，约为正弦波的半个周期，如图2所示。

图3所示的长为L，横截面积为A的简支直杆，缓冲材料位于撞击侧。线性缓冲材料因其所受载荷和变形程度成比例，因此可以将这种准静态下的力-变形行为表示为质量-弹簧系统中弹簧的性质(下面都以弹簧系统代表缓冲材料)。

弹簧系统的等效质量为ms，弹簧的刚度为k，满足胡克定律。假设杆变形后横截面仍为平面，且不考虑应力波的传播。当中等速度载荷P(t)沿轴向撞击时，弹簧系统受压变形。其运动方程为：

φsinγi1-γi1sinφ

忽略质量-弹簧系统以及杆体的变形，并假设杆体与系统具有共同的轴向速度。杆体所受轴向力为弹簧力。如前所述，当杆体轴向力等于最小弹性临界屈曲载荷Pcr时，杆体发生屈曲。定义无量纲最小临界屈曲载荷Dcr=Pcr/Pt。不同弹簧刚度kil对应的弹簧力μil随时间φ的变化关系如图4所示。由图4可知，随着kil的增加，屈曲发生的时间不断提前。

无量纲中等速度撞击载荷P(t)/Pt和Dcr与时间φ的关系如图5所示。在φ=φ1和φ=φ2区间，不同ki1值的μi1曲线与另外两条线都相交，杆体动态屈曲就出现在这个区间，这与文献[7]的试验结果一致。当三线交汇于φ=φ2时，μi1曲线具有临界弹簧刚度ki1/cr。换句话说，弹簧系统的刚度如果小于ki1/cr，杆体就能避免发生动态屈曲。

φ1和φ2的值可由P(t)=Pt=Dcr获得。根据三线交汇于一点，可以推出

于是，在中等速度撞击载荷以及弹簧系统位于

撞击侧情况下，临界弹簧刚度ki1/cr为

对ki1/cr进行无量纲化，可得到无量纲临界刚度

式中：ρs为弹簧系统的密度；Ec为杆体的杨氏模量；βs为无量纲弹簧系统长度，βs=T/r，r=I/A，其中T为弹簧系统的长度,r为杆体横截面回转半径，I为杆体横截面惯性矩;A为弹簧系统的横截面积。

如果弹簧系统位于远离撞击一侧，如图6所示。用上述方法分析，可得杆体的无量纲轴向位移μir。

φsinγir-γirsinφ

类似地，临界弹簧刚度的无量纲形式kir/cr可以表示为：

式中：ρc是杆体的密度；βc=L/r。

从式(7)和(9)可以看出，无量纲临界弹簧刚度与撞击载荷的幅值无关，而与载荷加载的时间有关。

3 阶跃载荷作用下杆体的动态屈曲

如图7所示，长为L的简支理想弹性直杆，受到轴向阶跃载荷P1(t)的作用，质量-弹簧系统位于撞击侧。阶跃载荷的表达形式如下：

式中：Pt是载荷幅值；t0是动载加载时间。

对弹簧系统的运动进行分析，可以得到其无量纲轴向位移μs1的表达式，

图8所示为具有不同ks1的μs1随无量纲时间τ的变化情况。杆体受到的弹簧作用力μs1≥Dcr，阶跃载荷P1(t)对杆体的持续作用时间为t0，从图8可知，只有当μs1曲线与P1(t)/Pt和Dcr表示的两条直线同时相交，杆体屈曲才能发生。此外，随着ks1值的增大，杆体发生屈曲的时间不断提前(如图8所示)。因此，t=t0对应了临界弹簧刚度ks1/cr，其表达式如下：

无量纲的临界弹簧刚度χs1可以表示为：

若弹簧系统位于远离撞击侧的杆体一端，如图9所示,杆体发生屈曲的条件是两端受力都大于或等于临界屈曲载荷，即P1(t)≥Pcr和ksrusr≥Pcr，其中ksr是此种工况下的弹簧刚度；usr是此种工况下的杆体轴向位移。usr表达式如下：

(14)

根据上述方程和条件，并且考虑阶跃载荷作用的时间t0，可以得到临界弹簧刚度ksr/cr:

临界弹簧刚度的无量纲表达式如下：

式中：χsr是此种工况下的无量纲弹簧刚度。从式(13)和(16)可以看出，无量纲临界弹簧刚度与载荷的幅值和加载时间都有关系。

4 算例和结果分析

以一矩形截面金属杆为例进行计算分析。杆体材料为软钢，σy=389.24MPa，Ec=2.11×105MPa[7]。杆体截面尺寸为14.74mm×8.64mm，杆体长度L=500mm。阶跃载荷和中等速度撞击载荷的幅值Pt=53.5kN，持续加载时间t0=0.018s[8]。弹簧系统的密度ρs=100kg/m3。

图10所示为中等速度撞击载荷作用下，无量纲临界弹簧刚度与无量纲长度的关系。从图中可以看出，无论弹簧系统位于杆体的哪一侧，临界弹簧刚度随弹簧系统长度(图a)或者随杆体长度(图b)的增加而增大。但在θ值较小时，这种变化趋势并不明显；只有当θ超过一定值后，临界弹簧刚度随无量纲长度增加显著。这表明，采用增加弹簧系统长度或杆体长度来提高临界弹簧刚度的方法只在一定θ值范围内有效。

由θ的定义可知，θ与载荷持续时间t0成反比，这意味着θ较大时，加载时间就短。由于中等速度撞击载荷下杆体的屈曲与加载幅值和持续时间都相关，因此，在载荷幅值不变的前提下，加载时间缩短，杆体屈曲的概率就会下降。此时，使用临界弹簧刚度更大一些的弹簧系统也能起到防护作用。同样的解释也适用于阶跃载荷撞击的情形。

对于中等速度撞击载荷和阶跃载荷情况，弹簧系统位置对于临界弹簧刚度的影响主要与弹簧系统密度和杆体密度有关。一般情况下，ρc>ρs，所以弹簧系统远离撞击侧时临界弹簧刚度更大，对杆体屈曲的防护效果更好。

对于中等速度撞击载荷，临界弹簧刚度仅与载荷作用时间有关；而对于阶跃载荷，临界弹簧刚度则与载荷的幅值和作用时间都相关。因此，在相同条件下，如图11所示，中等速度载荷的临界弹簧刚度高于阶跃载荷。换句话说，同样的缓冲材料，对于中等速度载荷撞击下的杆体屈曲防护要好于阶跃载荷。

5 结束语

本文讨论了在两种撞击载荷(即中等速度撞击载荷和阶跃载荷)下，具有线性缓冲材料防护的弹性杆的动态屈曲条件，分析表明线性缓冲材料的结构、材料参数以及所处位置对弹性杆体的动态屈曲都有影响。本文认为屈曲发生过程的时间较长，因而忽略了应力波在杆体中传播的影响。实际上，在直杆受轴向压力的情况下，应力波的传播对屈曲可能有较大的影响，特别是在冲击速度较高时。由于应力波的传播，使得杆体发生屈曲的分叉时间可能小于载荷持续时间t0，则本文得到的临界弹簧刚度的值可能会偏小。关于应力波传播对于有缓冲材料的杆体动态屈曲的影响将在下一步工作中进行研究。

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The simulation on the impact of linear buffer material of elastic rod to the dynamic buckling

LI Xiaoli, XU Youfeng, LIU Guizhi

(Nanjing Institute of Technology, Jiangsu Nanjing, 211167, China)

It analyzes the impact of two different types of load to elastic straight rod with linear buffer material, obtains the critical buckling spring stiffness of rod body under the condition of impact. Taking the rod material as model parameter, it simulates the relationship between critical spring stiffness with the load time, load amplitude with cushioning materials and the length of the rod. The result provides the theory reference for dynamic buckling protection of elastic straight rod under the different impact load.

buffer materials; elastic rod; dynamic buckling; step load

10.3969/j.issn.2095-509X.2015.03.008

2015-02-28

江苏省第十批“六大人才高峰”资助项目(2013-ZBZZ-044)；南京工程学院2014年度校级高等教育研究课题(2014ZC16)

李小笠(1975—)，女，重庆人，南京工程学院副教授，博士，主要研究方向为机械设计制造及自动化。

O344.1

A

2095-509X(2015)03-0038-05