基于G 代码修改的数控机床几何误差补偿方法*＊

高 兴 佟 浩 周 雷 满建财 李 勇

(①清华大学机械工程系/摩擦学国家重点实验室，北京 100084;②精密超精密制造装备及控制北京市重点实验室，北京 100084;③滕州市产品质量监督检验所，山东 滕州 277500;④国家机床产品质量监督检验中心(山东)，山东 滕州 277500)

随着现代机械制造技术的发展，以及精密加工技术在航空航天、医疗器械等领域的应用需求增加［1］，对数控机床加工精度的要求也日益提高。目前，有2种基本方法可提高机床精度:误差防止和误差补偿。误差防止是通过设计、制造及装配途径减少或消除可能的误差源［2］。但当加工精度提高到一定程度时，单纯通过误差防止会大幅增加机床制造成本，并增加技术上实现的难度。因此，仅依靠误差防止很难满足更高精度的要求。误差补偿已成为提高机床精度、改善机床性能的重要途径之一［1］，其涉及误差检测和误差纠正［2］。

近年来，国内外学者针对数控机床的误差补偿进行了大量工作，取得了一些成果。例如，1997年，美国Michigan Ann Arbor 大学J.C.Liang 等人，开发了1 套用于校正车削中心几何误差、热误差和切削力诱导误差的综合误差补偿系统，对1 台车削中心进行补偿并使其加工精度提高5 倍以上［3］;2003年，天津大学刘又午等人基于多体系统理论，建立了包含几何误差和热误差的全误差模型，实现了3 坐标和4 坐标联动数控机床平均精度提高50%～80%［4］。误差建模方法是误差补偿有效性的关键，这成为国内外学者研究的重点。先后出现了三角关系几何法、矢量法、误差矩阵法、机构学法、刚体运动学法等误差建模方法［5］，为数控机床误差补偿提供了一定理论基础，但仍存在误差模型难于适用不同类型机床的通用性问题、也存在建模过程复杂等问题［6］。

本文研究一种基于G 代码修改的几何误差补偿方法，以提高数控机床各轴的空间运动精度。建立包含几何误差的多轴数控机床空间误差模型，并提出直线和圆弧轨迹的误差补偿算法，采用修改G 代码的方式实现误差补偿方法的通用性，通过开展补偿实验验证相关理论和方法的有效性。

1 多轴机床空间误差建模方法

建立数控机床的空间误差模型，即建立包含机床单项误差和位置信息的目标点空间误差的函数。为获得通用型误差模型，以多体系统理论和齐次坐标变换理论为基础，将机床分为刀具分支和工件分支，分别获得刀具相对床身和工件相对床身的位置矩阵，建立理想情况时和有误差时刀具相对工件的位置矩阵，从而获得机床的通用误差模型。

1.1 通用型误差模型建模

如图1 所示，可将常见数控机床结构分为刀具与工件2 个分支:由床身w 到刀具τ 的刀具分支，由床身w 到工件p 的工件分支。由多体系统理论可知［1，4，6］，刀具相对工件的位置矩阵为:

同理可知，刀具相对床身的位置矩阵为:

式中:0 表示床身;1 至n 表示床身到刀具分支之间除床身外还具有n 个部件。

工件相对床身的位置矩阵为:

式中:0 表示床身;1'至n'表示床身到工件分支之间除床身外还具有n'个部件。

根据式(2)和式(3)可得:刀具相对工件的位置矩阵与分支部件间的关系为:

机床的空间误差方程可由刀具相对工件的位置矩阵得到，即建立起刀具相对工件的理想时位置矩阵和有误差时位置矩阵之间的关系，如式(5)所述:

由式(4)和式(5)可得机床空间误差方程表示为:

则解该空间误差方程便可求得空间误差模型，即式(6)为机床通用误差模型。

1.2 XZOY 型三轴机床误差建模实例

根据建立的机床通用型空间误差模型，以后续实验将用的三轴数控机床为例，建立三轴机床误差模型。如图2 所示为实验机床结构示意图，坐标系设定如图中所示，其中刀具分支包含床身、X 轴、Z 轴、主轴及刀具，依次编号为0、1、2、3、4;工件分支包含床身、Y 轴和工件，其编号分别为0、5、6。

根据式(6)可知，上述三轴机床的空间误差方程为:

由齐次坐标变换理论［7-9］和小角度误差假设［11］可知，相邻两部件a、b 之间的变换矩阵(即a 相对b 的位置矩阵)为:

式中;δx、δy、δz为a 相对b 运动时分别沿X 轴、Y 轴、Z轴方向的线性位移;εx、εy、εz为a 相对b 运动时分别绕X 轴、Y 轴、Z 轴旋转的角位移。

式中:x、y、z 分别为X 轴、Y 轴及Z 轴的位移;δb(a)表示a 轴沿b 轴方向的线性误差，εb(a)表示a 轴绕b 轴旋转的角度误差，Sab表示a、b 两轴间的垂直度误差，a、b 可取x 或y 或z。三轴机床共计21 项上述几何误差［1］，本文建模仅考虑这21 项误差。

将式(9)～(11)代入式(7)，可求得空间误差模型为:

式(12)～(14)即为后续实验所采用三轴机床的空间误差模型;其中，ηx、ηy、ηz分别为空间误差沿X轴、Y 轴和Z 轴方向的误差分量。从上述表达式可知，测得各单项误差并将误差值与对应机床坐标值代入误差模型，取计算值的相反数并与原坐标值叠加，即得目标点补偿后的坐标值。

2 基于G 代码修正的误差补偿方法

为实现误差补偿方法的通用性，采用修改G 代码的误差补偿方法。基于误差模型和误差测量数据，通过修改待加工工件的数控G 代码来补偿机床的几何误差。为实现直线运动补偿，提出可对三维空间内任意直线实行补偿及插补精度可控的直线轨迹补偿算法。为实现圆弧运动补偿，提出可提高圆弧轨迹圆心位置精度和插补精度可控的圆弧轨迹补偿算法。目前，通用G 代码指令仅可实现二维平面内的圆弧插补，故本论文提出的圆弧轨迹补偿算法同样只针对二维平面内的圆弧轨迹。

2.1 基本补偿方法

修改G 代码方法是以机床原点为补偿参考点，即补偿参考点为固定点。修改后的补偿点由式(15)计算:

式中:Pi为理想指令值;Pe为修改后的补偿值;E)为Pi点相对机床原点Po的空间误差值，可由式(12)～(14)计算获得。

修改G 代码虽然比较繁琐，但对数控系统没有特定要求，常见数控系统都可采用该方法实现误差补偿。同时，G 代码采用机床原点的绝对坐标作为补偿参考点，使G 代码可根据式(15)进行修正。绝对坐标补偿的参考点为固定的机床原点，故只需目标点理论坐标便可计算空间误差;相对坐标补偿的参考点为上一目标点，计算空间误差时，需通过上一目标点的实际位置坐标计算相对上一点的几何误差，再通过其理论位置坐标计算空间误差;上一目标点的指令值是确定的，而实际坐标不确定，因此会造成几何误差计算不准确。故与相对坐标参考点相比，本文提出的绝对坐标参考点可避免由于实际坐标不确定引入的误差。

2.2 直线运动补偿算法

如图3 所示，(X1，Y1，Z1)、(X2，Y2，Z2)分别为直线l 的起点和终点坐标，(Xi，Yi，Zi)为第i 个插补点坐标，α、β 为直线l 在XY 平面内的投影分别与X 轴和Y 轴正向的夹角，γ 为直线l 与其在XY 平面内投影的夹角。

由起点、终点坐标可得直线长度L、sinα、sinβ、sinγ、cosγ;设定插补精度为，由L 和可得分段数N，则插补点坐标可由式(16)计算获得。

式中:i 表示第i 个插补点。由式(16)计算插补点的理想坐标，再由式(15)对理想坐标进行修正。在修改G代码时，可选择不同的，实现不同插补精度的补偿。

2.3 圆弧运动补偿算法

如图4 所示，以XY 平面内圆弧插补为例，简述圆弧插补过程。α 为圆心角，α1与α2分别表示起点、终点向量与X 轴正向夹角，(X1，Y1)、(X2，Y2)、(X0，Y0)为分别为圆弧起点、终点及圆心坐标，(Xi，Yi)为第i个插补点坐标。

由起点、终点及圆心坐标可得α1、α2，则圆心角α可由α1、α2计算;根据I、J 值可得圆弧半径R，则由α和R 可得圆弧长度L;设定插补精度为L，根据L、L及R，可得插补分段数N 和分段圆心角α，则插补点坐标可由式(17)计算获得。

式中;i 表示第i 个插补点，当顺时针时，在(α1±i×)中取“-”，逆时针则取“+”。由式(17)计算插补点的理想坐标，再由式(15)对理想坐标进行修正。I、J为一段圆弧轨迹内，圆心坐标相对圆弧起点坐标方向的增量。

根据式(18)计算第i 个插补点对应Ii、Ji值:

式中:(X0，Y0)为补偿前圆心坐标，(X(i-1)'，Y(i-1)')为第i-1 个插补点修正后的坐标。由式(18)计算的Ii、Ji值，可使补偿前、后圆心坐标一致，避免了由于补偿后圆心坐标改变引入的误差，从而保证了补偿精度。在修改G 代码时，可选择不同的，实现不同插补精度的补偿。

3 误差补偿实验

为验证误差建模及其补偿方法的有效性，采用球杆仪检测实验机床两轴联动时的动态性能。将球杆仪两端分别固定在机床两轴上，在两轴联动带动下产生球杆仪测量运动:XY 联动时，使球杆仪往返转动2 圈，每圈360°;XZ 和YZ 联动时，使球杆仪往返转动2 圈，每圈220°。当XZ 和YZ 联动时，球杆仪转动整圈会与机床发生干涉，故此处取接近极限位置的220°作为球杆仪的测量角度。最后，通过测试获得的“最大径向偏差”数据评价补偿效果:即最大径向偏差越小，则补偿效果越明显。

3.1 实验系统简介

实验系统采用山东普鲁特机床厂的DX6080 三轴数控机床(图5)，该机床X、Y 及Z 轴有效行程分别为580 mm、750 mm、250 mm;采用英国雷尼绍公司的QC-20 球杆仪(图6)对补偿效果进行验证，该球杆仪可对机床两轴联动的综合性能进行检测。

3.2 几何误差检测

激光干涉仪可检测除滚动角以外的其它几何误差［10］，电子水平仪可对滚动角误差进行检测［11］。因实验机床结构原因，导致电子水平仪测量位置受限，未测量3 轴滚动角误差，故实际对3 项定位误差、3 项垂直度误差、6 项直线度误差及6 项角度误差，共计18项几何误差进行了补偿。采用英国雷尼绍公司的XL-80 激光干涉仪(图7)对18 项误差进行检测。基于几何误差测量数据，利用提出的G 代码修改误差补偿方法，自主开发了G 代码修改的补偿软件，以获得补偿后的G 代码。将补偿前、后的G 代码载入机床数控系统，便可开展误差补偿实验。

3.3 误差补偿实验及结果分析

在空载情况下，机床分别在XY、XZ 及YZ 平面内进行圆弧补偿实验，通过球杆仪检测机床补偿前、后两轴联动的综合性能(图6):圆弧测试半径为150 mm，3个平面均测量顺逆两圈圆弧且顺逆轨迹基本重合(图8～10)，其中XY 平面为360°圆弧，XZ 与YZ 为220°圆弧。补偿结果如图8～10 及表1 所示。

由表1 可知，补偿后运动空间3 个平面内联动轨迹误差减小40%以上，补偿效果明显;同时，从图8～10 中可以看出，补偿后圆弧圆度也有较大提高。

表1 圆弧补偿结果

4 结语

为提高数控机床运动的几何精度，采用修改G 代码方式实现几何误差的补偿。建立了多轴数控机床的空间误差模型，提出了直线和圆弧轨迹的误差补偿算法。通过球杆仪测试机床的动态性能，开展了联动轨迹的圆弧补偿实验，得到如下主要结论:

(1)基于多体系统理论和齐次坐标变换理论，建立了多轴数控机床的通用型误差模型，该模型适用于不同结构的机床，并以三轴机床为例建立了其空间误差模型。

(2)描述了基于修改G 代码的运动误差补偿方法，验证了所提出的三维空间内任意直线插补补偿算法和可提高圆心位置精度的圆弧插补补偿算法的有效性。

(3)在实验机床运动空间3 个平面内进行联动轨迹补偿实验，实现了机床空间误差减小40%以上。

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