一类绝对值函数的性质及应用

☉山东省临清市实验高中 姚继新

一类绝对值函数的性质及应用

☉山东省临清市实验高中 姚继新

近几年，考查绝对值函数f（x）=|mx-a|±|nx-b|（m＞0，n＞0，a≠b）的图像与性质的试题越来越多，而该类函数又恰恰是学生感觉非常疑惑的地方，因此，笔者做一整理，以飨读者.

为方便起见，我们约定：

（1）f（x）=|x-a|+|x-b|为f（x）=|mx-a|+|nx-b|（m＞0，n＞0，a≠b）的标准型，f（x）=|x-a|-|x-b|为f（x）=|mx-a|-|nx-b|（m＞0，n＞0，a≠b）的标准型；

（2）使|x-a|=0的x的值为|x-a|的零点；

（3）以下均有m＞0，n＞0，a≠b.

一、对函数f（x）=|mx-a|+|nx-b|（a≠b）的研究

1.若m=n=1，则f（x）=|x-a|+|x-b|，为f（x）=|mx-a|+|nxb|的标准型.

①由绝对值的几何意义知：标准型函数f（x）的几何意义为数轴上的点x到a、b的距离之和；

②当a≤x≤b（不妨设a＜b）时，f（x）取到最小值|b-a|；

③其图像为U形折线，如图1.

（2）若m=n≠1，则f（x）=|mx-a|+|nx-b|=进而转化为标准型.

（3）若m≠n.

图1

图2

图3

图4

二、对函数f（x）=|mx-a|-|nx-b|（a≠b）的研究

类比对函数f（x）=|mx-a|+|nx-b|（a≠b）的研究，可得以下结论：

（1）若m=n=1，则f（x）=|x-a|-|x-b|，为f（x）=|mx-a|-|nx-b|的标准型.

①由绝对值的几何意义知：标准型函数f（x）的几何意义为数轴上的点x到点a的距离减去点x到点b的距离；

②当a≤x≤b（不妨设a＜b）时，f（x）取到最大值|b-a|；③其图像为Z形折线，如图5，）为其对称中心.

图5

（2）若m=n≠1，则f（x）=|mx-a|-|nx-b|=|m|·），进而转化为标准型.

（3）若m≠n.

图6

图7

图8

（i）若m＞n，则其图像如图7所示；

（ii）若m＜n，则其图像如图8所示.

事实上，当m、n不满足m＞0、n＞0的条件时，也可先转化为m＞0、n＞0的形式，进而求解.

例1 （2013年高考山东理14）在区间［-3，3］上随机取一个数x， 使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率是__________.

分析：利用f（x）=|x+1|-|x-2|的几何意义，知当1≤x≤ 3时满足不等式，故由几何概型知答案为

例2 设函数f（x）=|x+3|-|x-a|（a≠-3）的图像关于点（1，0）中心对称，则a的值是_________.

分析：f（x）=|x-a|-|x-b（|a≠b）的图像关于点）中心对称，故即a=5.

例3 设函数f（x）=|2x+1|+|ax|，若存在三个互不相等的实数x1、x2、x3，使得f（x1）=f（x2）=f（x3），则实数a=______.

分析：由题意知f（x）的图像必是U形图像，故|a|=2，即a=±2.

例4 已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|.

（1）画出函数f（x）的图像；

（2）若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|·f（x）（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的取值范围.

分析：（1）略.

（2）由|a+b|+|a-b|≥|a|·f（x），知f（x）恒成立.